Понятие составных кодах.
Составные коды базируются на составных системах счисления, имеющих два и более основания. При таком кодировании числа, заданные в системе с некоторым основанием q, изображаются с помощью цифр другой системы счисления с основанием p<q.
Примером таких кодов являются двоично-десятичные коды. В двоично-десятичных кодах основание q=10, а p=2. Для отображения любой цифры десятичной системы счисления необходимо n=|log2|=4 разряда. В то же время данные группы позволяет сформировать N=24=16 комбинаций, т.е. 6 комбинаций являются избыточными. В принципе могут быть исключены любые 6 комбинаций, что приводит к большому количеству вариантов построения двоично-десятичных кодов. Обще число вариантов 16!/6!=2,9*1010.
Понятие о коде Рида-Соломона
Кодом Рида-Соломона (РС-кодом) называют циклический (N,K)-код, при N = q–1, множество кодовых комбинаций которого представляется многочленами степени N–1 и менее с коэффициентами из поля GF(q), где q > 2 и является степенью простого числа, а корнями порождающего многочлена являются N–K последовательных степеней: a, a2, a3, …, aD–1, некоторого элемента a О GF(q), где D – минимальное кодовое расстояние (N,K)-кода.
В соответствии с теорией циклических кодов, порождающий многочлен g(x) является делителем xN–1 над GF(q).
Таким образом, РС-код над полем GF(q) имеет длину кодовой комбинации N = q–1, число избыточных элементов в ней N–K = D–1 и минимальное кодовое расстояние D = N–K+1.
Коды с подобным значением минимального кодового расстояния в теории кодирования получили название максимальных.
При фиксированных N и K не существует кода, у которого минимальное кодовое расстояние больше, чем у РС-кода. Этот факт часто является веским основанием для использования РС-кодов. В то же время РС-коды всегда оказываются короче всех других циклических кодов над тем же алфавитом. РС-коды длины N < q–1 называют укороченными, а коды длины q (или q+1) – расширенными (удлиненными) на один (или два) символа. В РС-коде может быть выбрано и другое значение m0, если это оправдано.