Задание 3

Постройте линейное уравнение парной регрессии у от х. Проведите дисперсионный анализ, найдите коэффициент регрессии, эластичности, среднюю ошибку аппроксимации; оцените статистическую значимость параметров регрессии и корреляции; оцените статистическую значимость модели по критерию Фишера. Результаты расчета проверить в Excel с помощью инструмента Анализа данных.

№ к-за	Урожайность, ц/га	Балл оценки почвы для озимых зерновых	x*y	x^2	y^2	y^	/(y-y^)/y/	(y-y^)^2	(x-xcp)^2	(y-Ỹ)^2	(y^-Ỹ)^2
1	25	90	2250	625	8100	75,100	0,166	221,997	38,617	678,478	124,279
2	22	68	1496	484	4624	69,719	0,025	2,954	10,332	16,383	33,249
3	15,7	60	942	246,49	3600	58,417	0,026	2,507	9,522	15,621	30,643
4	14,3	58	829,4	204,49	3364	55,905	0,036	4,388	20,122	35,431	64,756
5	24,8	82	2033,6	615,04	6724	74,742	0,089	52,684	36,172	325,717	116,408
6	13,7	57	780,9	187,69	3249	54,829	0,038	4,714	25,864	48,336	83,237
7	22	66	1452	484	4356	69,719	0,056	13,828	10,332	4,193	33,249
8	15,5	53	821,5	240,25	2809	58,058	0,095	25,583	10,796	119,955	34,744
9	16,9	61	1030,9	285,61	3721	60,570	0,007	0,185	3,556	8,717	11,444
10	13	50	650	169	2500	53,573	0,071	12,768	33,474	194,669	107,728
11	15,1	61	921,1	228,01	3721	57,340	0,060	13,392	13,584	8,717	43,718
12	18	59	1062	324	3481	62,543	0,060	12,552	0,617	24,526	1,987
13	12,5	57	712,5	156,25	3249	52,676	0,076	18,695	39,510	48,336	127,152
14	22	65	1430	484	4225	69,719	0,073	22,265	10,332	1,098	33,249
15	22,1	60	1326	488,41	3600	69,898	0,165	97,971	10,984	15,621	35,350
16	22,6	69	1559,4	510,76	4761	70,795	0,026	3,222	14,549	25,478	46,821
17	24,9	72	1792,8	620,01	5184	74,921	0,041	8,532	37,384	64,764	120,311
18	18,7	68	1271,6	349,69	4624	63,799	0,062	17,652	0,007	16,383	0,024
19	14,2	58	823,6	201,64	3364	55,726	0,039	5,172	21,029	35,431	67,675
20	23,5	70	1645	552,25	4900	72,410	0,034	5,806	22,224	36,574	71,523
21	18	59	1062	324	3481	62,543	0,060	12,552	0,617	24,526	1,987
итого	394,5	1343	25892,3	7780,59	87637	1343,0	1,3057359	559,418	369,626	1748,952	1189,535
сред. знач.	18,79	63,95	1232,97	370,50	4173,19	63,95	0,06	26,64	17,60	83,28	56,64

Шаг 1 Найдем параметр уравнения регрессии

b= ( xy¯- y¯*x¯)/ (x²¯- (x¯)²)

b= (1232,97 – 63,95*18,79)/ (370,50-18,79²)= 1,7939;

a= y¯- b* x¯

a= 63,95- 1,37939*18,75= 30,25197;

Уравнение регрессии y=a+b*x= 30,25197+1,7939* x

Параметр b=1,3086 представляет собой коэффициент регрессии, показывающий, что с увеличением урожайности бонитировочный балл увеличивается на 1,3086.

Коэффициент эластичности показывает на сколько процентов в среднем по совокупности изменяется результат y от своей средней величины при изменении фактора x на 1% от своего среднего значения.

Э=f '(x)* x¯/ y¯=1,7939*18,79/63,95=0,5270

Оценим тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

σ_x=√ x²¯- (x¯)²= √370,50-18,79²=4,19538

σ_y=√ y²¯- (y¯)²=√4173,19-63,95²=9,12597

Линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии

r =b*(σ_x/σ_y)= 1,7939 *(4,19538 /9,12597)= 0,824706

По шкале Чаттена связь прямая и высокая.

Коэффициент детерминации R= r²= 0,68014

Вариация результативного признака на 68% объясняется вариацией включенного в модель фактора х.

Средняя ошибка аппроксимации – это среднее отклонение расчетных значений от фактических. Дадим оценку с помощью средней ошибки аппроксимации А_ср=1/n*∑ |(y-y^)/y|*100%

А_ср=1/21*1,30574*100%=6,21778%

В среднем расчетное значение отклоняется от фактических на 6,21778%.

Расчету F – критерия Фишера предшествует анализ дисперсии, центральное место в нем занимает разложение общей суммы квадратов отклонения переменной y от среднего значения на 2 части (таблица 3.1).

Таблица 3.1 Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ
Вариационный результат	df	∑ квадратов отклонений	Дисперсия на 1df	F-критерий Фишера
Общая	20	1748,952	87,45	40,40
Факторная	1	1189,5350	1189,54
Остаточная	19	559,4180	29,44

Где df – число степеней свободы, n – число наблюдений, m – число параметров при переменных х.

Сумма квадратов отклонений, обусловленная регрессией, больше остаточной суммы квадрата, поэтому уравнение регрессии статистически значимо, и урожайность оказывает существенное воздействие на балл оценки почвы для озимых зерновых.

Любая сумма квадратов отклонений связана с числом степеней свободы df. Разделив катую сумму квадратов отклонений на соответствующее число степеней свободы, получаем дисперсию D на одну степень свободы.

Значимость уравнения регрессии оценивается с помощью F – критерия Фишера. При этом выдвигается нулевая гипотеза Н₀. Нулевой или основной гипотезой называется гипотеза, которая утверждает, что различия между сравниваемыми величинами отсутствуют, а наблюдаемые отклонения объясняются случайными колебаниями выборки.

F_факт = (r²/1- r²)*((n-m-1)/m)

F_факт =( 0,68014/(1- 0,68014))*(21-2)= 40,40;

Для оценки значимости уравнения регрессии F_факт сравнивают с F_табл (из справочника) при определенном уровне значимости k₁=m, k₂=n-m-1. Тогда получаем k₁=1, k₂=19 и F_табл=4,38.

Если F_факт > F_табл, то есть 40,40 >4,38, то гипотеза Н₀ отклоняется.

Для оценки коэффициентов регрессии и корреляции рассчитывается t – критерий Стьюдента и доверительный интервал каждого из показателей.

t_a = a/m_a , t_b = b/m_b , t_r = r/m_r ,

где m_a, m_b, m_r – случайные ошибки параметров.

m_a = √ (∑(у – ŷ)² / n-2)* (∑x_i² / (n*(∑x - x¯)²));

m_a = √( 559,418/19)*( 7780,59/(21* 369,626))= 5,4326;

m_b = √ (∑(у – ŷ)²)/ (∑x - x¯)²);

m_b = √559,418/369,626=1,2302;

m_r = √ (1 – r²) / (n – 2) , m_r = √0,31986/19 = 0,1297

t_a = 30,25197/5,4326=5,5686;

t_b = 1,79394/1,2302=1,458;

t_r = 0,8247/0,1297=6,3562;

Фактическое значение t – критерия Стьюдента сравнивается с табличным на основании заданных вероятностей и df степеней свободы.

При df = 19 и α = 0,05, t_табл= 2,093, тогда

t_a > t_табл – параметр статистически значим;

t_b < t_табл – параметр статистически незначим;

t_r > t_табл – параметр статистически значим.

Для установления доверительного интервала определяют предельную ошибку Δ для каждого показателя:

Δ_a = t_табл* m_a=2,093* 5,4326=11,37;

Δ_b = t_табл* m_b=2,093* 1,2302=2,57;

Δ_r = t_табл* m_r =2,093* 0,1297=0,27.

Формулы для расчета доверительного интервала имеют вид:

γ_а = а ± Δ_a= 30,2519±11,37;

γ_b = b ± Δ_b = 1,7939±2,57;

γ_r = r ± Δ_r = 0,8247±0,27.

Если F_факт > F_табл, но часть коэффициентов незначима, то модель пригодна для принятия некоторых решений, но не для прогнозирования.

В прогнозном значении y_р определяется путем постановки в уравнение регрессии y_р = a + b*x соответствующего прогнозного значения х_р.

Рассчитаем прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличить на 10% от его среднего значения.

х_р = 1,1 * x¯= 1,1* 18,79=20,67;

y_р = a + b* х_р = 30,2519+1,7939*20,67=67,33.

Если прогнозное значение урожайности составит 20,67 ц/га, то прогнозное значение бонитировочного балла составит 67,33.

Вычисляется стандартная ошибка прогноза:

σ_ост = √ (∑(у – ŷ)²)/ (n – m – 1) = √ 559,418/19 = 5,4261;

m_yp = σ_ост * √ 1+ 1/n + (х_р - x¯)² / (∑x - x¯)² ;

m_yp = 5,4261* √ 1+1/21+ (20,67 - 16,895)² / 369,626= 5,6550.

Определяем доверительный интервал прогноза для уровня значимости α = 0,05.

γ_ур = y_р ± Δ_ур , Δ_ур = t_табл * m_yp = 2,093*5,6550=11,836;

γ_ур = 67,33±11,836

γ_ур min = 67,33- 11,836= 55,494

γ_ур max = 67,33+11,836= 76,166

С вероятностью95% можно утверждать,что при внесении удобрении, бонитировочный балл прогнозирруется в пределах от 55,494 до 76,166 балл.