- •Дайте определение скалярного произведения в Rn. Приведите неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере.
- •Дайте определения вырожденной и невырожденной квадратных матриц порядка 3. Приведите примеры таких матриц. Докажите, что ортогональная матрица является невырожденной
- •Выведите канонические уравнения прямой в r3, проходящей через данные точки и .
- •Дайте определение скалярного произведения в пространстве . Дайте определение евклидова пространства. Сформулируйте неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере.
- •Сформулируйте теорему двойственности и привести пример
- •Может ли квадратное уравнение в области комплексных чисел: а) не иметь корней; б) иметь ровно один корень; в) иметь два корня; г) иметь более двух корней? Решите уравнение .
- •Найдите угол между плоскостями , . Найдите угол между прямой и плоскостью в ?
- •Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Докажите правило Крамера для системы линейных уравнений от двух переменных.
- •Какие уравнения окружности, эллипса и гиперболы называется каноническими? Какая из линий второго порядка обладает асимптотами? Напишите каноническое уравнение этой линии и уравнения ее асимптот.
- •Дайте определение скалярного произведения в пространстве . Приведите неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере.
- •Дайте определения стандартной и канонической задач линейного программирования. Приведите к стандартной и канонической формам следующую задачу
- •Выведите уравнение прямой в , проходящей через данную точку в данном направлении .
- •Дайте определение линейного пространства. Приведите примеры линейных пространств, отличных от арифметических пространств .
- •Как найти угол между прямой и плоскостью в ? Ответ обоснуйте и приведите пример.
- •3.Дайте определение отрезка, луча. Напишите задающее их ур-ние и неравенство в r3. Как проверить, лежит ли точка на заданном отрезке? Приведите примеры.
- •Дайте определение аргумента комплексного числа и укажите способ его нахождения. Найдите аргумент числа . Какой аргумент имеет число ?
- •Образует ли линейное пространство множество квадратных матриц порядка , удовлетворяющих условию ? Ответ обосновать. Найдите размерность этого пространства.
- •2. Сформулируйте правило Крамера для решения систем линейных уравнений. Приведите пример применения правила Крамера для системы линейных уравнений от трех переменных.
- •Билет 19
- •1) Сформулируйте закон инерции квадратичных форм. Можно ли квадратичную форму с помощью невырожденного линейного преобразования переменных привести к виду ? Ответ обоснуйте.
- •2) Как определяется операция умножения матрицы а на число ? Приведите пример. Как связаны определители квадратных матриц а и размера nxn? Ответ обоснуйте.
2) Как определяется операция умножения матрицы а на число ? Приведите пример. Как связаны определители квадратных матриц а и размера nxn? Ответ обоснуйте.
Произведением матрицы на число называется матрица .
Пример: .
Определитель матрицы равен , где n-размерность матрицы, умноженной на определитель А.
3) Как определяется (в матричной форме) пара симметричных взаимно-двойственных задач линейного программирования. Какими условиями связаны симметричные взаимно-двойственные задачи линейного программирования (основное неравенство)?
Задача I |
Задача II |
(1) (2) Найти max f при условиях (1), (2). |
(3) (4) Найти min при условиях (3), (4). |
Если ввести в рассмотрение матрицу из коэффициентов при неизвестных в системе (2), а также матрицы-столбцы то получим другую (матричную) форму записи задач I и II.
Задача I |
Задача II |
(5) (6) при условиях (5), (6) |
(7) (8) при условиях (7), (8). |
В таком виде может быть задана любая пара взаимно двойственных задач линейного программирования: при этом задача I может иметь произвольные размеры mxn, а задача II – соответственно размеры nxm.
Основное неравенство: Пусть Х – какое-нибудь допустимое решение задачи I (т.е. любое решение системы (5),(6)), а Y – какое-нибудь допустимое решение задачи II (любое решение системы (7), (8)). Тогда справедливо неравенство
Следствие 1 (достаточный признак оптимальности). Если для каких-то допустимых решений и задач I и II выполняется равенство то есть оптимальное решение задачи I, а - оптимальное решение задачи II.
Следствие 2. Если в одной из задач I и II целевая функция не ограничена с соответствующей стороны (т.е. в задаче I или в задаче II), то другая задача не имеет допустимых решений.
4) Найти значение параметра m, при которых строки матрицы A линейно зависимы: .
5) Вычислите определитель матрицы .
6) Найти собственный вектор матрицы , если известно, что она имеет следующие собственные значения:
7) Найти точку А’, симметричную точке A(1,0,4), относительно плоскости П: x-4y-3z-2=0.
8) Найти угловые точки выпуклого множества, заданного системой линейных ограничений:
1)Модулем комплексного числа z=x+iy называется длина . Аргументом комплексного числа z (ArgZ) называется угол между ненулевым вектором Z и положительным направлением оси ОХ
a)
b)
2)Матрица А>0 называется продуктивной, если для .
Критерии продуктивности:
Если для некоторого существует ,то матрица продуктивна.
и существует.
Если А>0 и норма (норма – это максимум сумм модулей элементов столбцов), причем хотя бы для одного столбца сумма его элементов меньше единицы, то А – продуктивная матрица.
Неотрицательная квадратная матрица А продуктивна тогда и только тогда, когда ее .
Пример:
3 )для задачи на максимум: если есть хотя бы одна отрицательная оценка, а в соответствующем столбце нет ни одного положительного элемента, то задача неразрешима. . Соответственно в задаче на минимум: если есть хотя бы одна положительная оценка, а в соответстующем столбце нет ни одного положительного столбца, то
Б.П. |
X1 |
Х2 |
Х3 |
Х4 |
С.Ч. |
X4 |
0 |
-6 |
2 |
1 |
5 |
X1 |
1 |
-3 |
-9 |
0 |
4 |
Z |
0 |
-1 |
5 |
0 |
3 |
Задача на максимум