Дайте определение скалярного произведения в пространстве . Приведите неравенство Коши-Буняковского и проиллюстрируйте его на примере.
Скалярное
произвед. вект
в пространстве
Пример:
найти длины вект.
Дайте определения стандартной и канонической задач линейного программирования. Приведите к стандартной и канонической формам следующую задачу
Стандартной называется такая форма задачи линейного программирования, в которой все ограничения (как тривиальные, так и нетривиальные) записаны в виде неравенств.
Канонической формой задачи линейного программирования называется такая форма, при которой все не тривиальные ограничения записаны в форме уравнения, а тривиальные в форме неравенства.
В общем случае, для перехода от канонической формы к стандартной необходимо решить систему уравнений, заданную систему нетривиальных ограничений относительно каких-либо переменных методом Гаусса, полученные выражения преобразуем неравенство, используя тривиальные ограничения
№5
В 09
Дайте определение матрицы квадратичной формы. Найдите матрицу квадратичной формы
.
Изменится ли определитель матрицы
квадратичной формы при ортогональном
преобразовании переменных? Ответ
обоснуйте.
Матрицей квадратичной формы называется матрица называется симметрическая матрица А, элементами которой являются числа Aij=Aji.
Квадратичной
формой на пространстве
называется ?отображение?
вида
,
где А – симметрическая матрица, называемая
матрицей квадратичной формы.
:
A' = Pt * A * P
где A - матрица квадратичной формы, P - ортогональная матрица, т.е. P*Pt = E => |P*Pt| = 1 => |P|*|Pt|=1
|A'| = |Pt * A * P| = |Pt| *|A| * |P| = 1*|A| = |A|
а значит определитель не меняется при ортогональном преобразовании
Дайте определение собственного вектора и собственного значения матрицы. Приведите пример. Сколько линейно независимых собственных векторов может иметь действительная симметрическая матрица третьего порядка? Ответ обоснуйте.
Ненулевой
вектор X
называется собственным вектором
линейного преобразования А, если
,
где
,
- собственное значение линейного
преобразования, соответствующее вектору
Х.
Действ. сим. матрица 3-ого порядка может иметь до 3-х линейно независимых собственных векторов (по свойству собственного вектора: собственных векторов – собственные вектора, соответствующие различным собственным значениям, линейно независимы).
Выведите уравнение прямой в , проходящей через данную точку в данном направлении .
- фиксированная точка
- направляющий вектор
Тогда
каноническое уравнение прямой будет
выглядеть так:
В 10
Дайте определение положительно и отрицательно определенных квадратичных форм и приведите примеры. Существуют ли квадратичные формы, которые не являются ни положительно, ни отрицательно определенными? Ответ обоснуйте.
Квадратичная форма F положительно(отрицательно) определена, если для любого вектора X F(X)>0 (F(X)<0)
Кроме положительно и отрицательно определённых квадратичных форм, существует