ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА УРАВНЕНИЕ

Эллиптические уравнения — класс дифференциальных уравнений в частных производных.

В общем виде могут быть записаны как Au = f, где u — неизвестная функция, A — эллиптический оператор, а f — известная функция пространственных координат. Обычно на эллиптический оператор накладывается дополнительное условие положительной определённости.

Численные методы решения - методы приближенного отыскания решений дифференциальных уравнений с частными производными эллиптического типа. Среди различных классов задач, которые ставятся для Э. т. у., наиболее хорошо изучены краевые задачи и задачи с данными Коши. Последние поставлены некорректно и требуют для решения специальных методов. Более типичны для Э. т. у. краевые задачи и для их приближенного решения разработано много различных численных методов. Наиболее широкое распространение в вычислительной практике получили сеточные методы, а среди них - метод конечных разностей и метод конечных элементов (м. к. э.). Хотя указанные методы и различаются подходом к построению приближенного решения - в первом из них аппроксимируются (см. Аппроксимация дифференциальной краевой задачи разностной )уравнение и граничные (краевые) условия, а во втором - само искомое решение, - однако получающиеся для отыскания приближенного решения алгебраической системы близки по структуре, а в ряде случаев и вовсе совпадают. Суть метода конечных разностей состоит в следующем: область непрерывного изменения аргументов исходной задачи заменяется дискретным множеством точек (узлов), называемым сеткой; производные, входящие в дифференциальное уравнение и граничные условия, аппроксимируются разностными отношениями; при этом краевая задача для дифференциального уравнения заменяется системой алгебраических уравнений (разностной схемой). Если полученная таким образом разностная краевая задача разрешима (быть может, только на достаточно мелкой сетке) и ее решение при безграничном измельчении сетки приближается (сходится) к решению исходной задачи для дифференциального уравнения, то полученное на любой фиксированной сетке решение разностной задачи и принимается за приближенное решение исходной задачи. Простейшим примером Э. т. у. является уравнение Пуассона (уравнение Лапласа, если

Примеры разностных схем для уравнения Пуассона приведены в статьях Краевая задача;численные методы решения для уравнений с частными производными и Разностное уравнение. В м. к. э. аппроксимируется обобщенное решение краевой задачи. Если, напр., уравнение (1) задано при я для него рассматривается однородная задача Дирихле, т. е.

где - граница то обобщенным решением задачи (1), (2) наз. функция которая при любой функции удовлетворяет интегральному тождеству

Здесь - Соболева пространство функций, обращающихся в нуль (в смысле обобщенных функций) на Наиболее важный класс м. к. э. образуют м. к. э. галеркинского типа (конформные м. к. э.). В Галеркина методе приближенное решение ищется в конечномерном подпространстве того пространства, на котором задано интегральное тождество, определяющее обобщенное решение. Применительно к задаче (3) приближенным по Галеркину решением наз. такая функция которая при любой функции удовлетворяет интегральному тождеству (3). В м. к. э. подпространство должно обладать некоторыми специальными свойствами (см. Разностная вариационная схема). Специфику конечномерного подпространства, отличающую м. к. э. от других реализаций метода Галеркина, иллюстрирует следующий пример. Пусть область в которой ищется решение задачи (1), (2), есть многоугольник. Область разбивается на малые треугольники (конечные элементы) так, чтобы любые два треугольника либо вовсе не содержали общих точек, либо имели одну общую вершину, либо одну общую сторону. В качестве конечномерного подпространства пространства выбирается пространство кусочно-линейных, линейных над каждым треугольником, непрерывных и обращающихся в нуль на функций. Размерность пространства совпадает с числом вершин треугольников (без учета их кратности), не попавших на границу Указанные вершины наз. узлами. В качестве базиса можно взять совокупность таких элементов которые отличны от нуля лишь в одном узле. Характерной особенностью этого базиса является то, что у каждого его элемента носитель минимален и образован объединением всех треугольников с общей вершиной в том узле, где данный базисный элемент отличен от нуля. Благодаря этому свойству на каждом конечном элементе (к. э.) отлично от нуля не более трех (по числу вершин, не попавших на базисных функций, что позволяет использовать сужения указанных базисных функций на к. э. как базис на к. з. и проводить все вычисления на к. э. без привлечения информации о других к. э. Указанное свойство базиса делает м. к. э. весьма технологичным с точки зрения использования ЭВМ. Если, напр.. - единичный квадрат, а разбиение на к. э. осуществляется тремя семействами эквидистантных прямых

то при условии, что отличные от нуля значения базисных функций равны единице, для коэффициентов с _тп разложения приближенного решения получают систему уравнений, в точности совпадающую с системой уравнений метода конечных разностей. При этом с _тп будут значениями приближенного решения в узлах. Точность описанного м. к. э. характеризуется оценкой

где h - максимальный линейный размер к. э. Чтобы получить большую точность, нужно приближенное решение искать не в пространстве кусочно- линейных функций, а в пространстве кусочно-квадратичных или, вообще, кусочно полиномиальных функций. Точность в этом случае при надлежащей гладкости искомого решения будет О(h^k), где k - степень используемых многочленов. Помимо треугольных к. э. можно использовать и четырехугольные к. э., однако, если стороны четырехугольников не параллельны координатным осям, то необходимо применять - изопараметрич. технику, т. е. сначала отобразить рассматриваемый к. э. на канонические к. э. (в данном случае на прямоугольник со сторонами, параллельными координатным осям) при помощи невырожденного преобразования, обратное к которому задается теми же самыми функциями, что и приближенное решение на канонических к. э. Можно использовать треугольники и четырехугольники с криволинейными сторонами (снова применяя изопараметрич. технику), что необходимо при решении задач в областях с гладкой границей методами более высокого порядка точности, чем первый. Помимо м. к. э. галеркинского типа, существуют так наз. неконформные м. к. э., решения в которых ищутся в пространствах, не являющихся подпространствами исходных пространств. Особенно часто такие м. к. э: применяются для задач, связанных с Э. т. у. более высокого, чем второй, порядка. И метод конечных разностей, и м. к. э. приводят к системам линейных алгебраических уравнений большого порядка с разреженными матрицами; подавляющее большинство элементов этих матриц нулевые. Получил значительное развитие еще один метод приближенного решения краевых задач для Э. т. у.- метод граничных элементов.

При исследовании стационарных процессов (не зависящих от времени) различной физической природы (колебания, теплопроводность, диффузия и др.) обычно приходят к уравнениям эллиптического типа. Наиболее распространенным уравнением этого типа является уравнение Лапласа: .

Определение:  Функция u называется гармонической в области Ω, если она непрерывна в этой области вместе со своими производными до 2-го порядка и удовлетворяет уравнению Лапласа.

Рассмотрим стационарное тепловое поле. Известно, что температура нестационарного теплового поля удовлетворяет дифференциальному уравнению теплопроводности

u_t = a²

, где .

Если процесс стационарен, то устанавливается распределение температуры u(x, y, z), не меняющейся с течением времени и, следовательно,удовлетворяющее уравнению Лапласа . При наличии источников тепла получаем уравнение

, ,

где F - плотность тепловых источников, а k - коэффициент теплопроводности. Неоднородное уравнение Лапласа часто называют уравнением Пуассона.

Рассмотрим некоторый объем Ω, ограниченный поверхностью . Задача о стационарном распределении температуры u(x, y, z) внутри тела Ω формулируется следующим образом: найти функцию u(x, y, z) , удовлетворяющую внутри Ω уравнению и граничному условию, которое может быть взято в одном из следующих видов:

1. u = f₁ на (первая краевая задача),

2. на (вторая краевая задача),

3. на (третья краевая задача),

где f ₁ , f ₂ , f ₃ , h - заданные функции, - производная по внешней нормали к поверхности .

Физический смысл этих граничных условий очевиден. Первую краевую задачу часто называют задачей Дирихле, вторую задачу - задачей Неймана, а третью задачу - задачей Робена или смешанной задачей.

Нелинейные уравнения второго порядка эллиптического типа

Стационарные уравнения нелинейной теплопроводности вида w_xx + w_yy = f(w)

1. w_xx + w_yy = aw + bwⁿ.

2. w_xx + w_yy = awⁿ + bw²ⁿ⁻¹.

3. w_xx + w_yy = ae^βw.

4. w_xx + w_yy = ae^βw + be^2βw.

5. w_xx + w_yy = aw ln(βw).

6. w_xx + w_yy = a sin(βw).

7. w_xx + w_yy = f(w).

Уравнения анизотропной теплопроводности вида [f(x)w_x]_x + [g(y)w_y]_y = h(w)

1. (axⁿw_x)_x + (by^mw_y)_y = f(w).

2. aw_xx + (be^μyw_y)_y = f(w).

3. (ae^βxw_x)_x + (be^μyw_y)_y = f(w).

4. [f(x)w_x]_x + [g(y)w_y]_y = kw ln w.

Уравнения анизотропной теплопроводности вида [f(w)w_x]_x + [g(w)w_y]_y = h(w)

1. w_xx + [(αw + β)w_y]_y = 0.    Стационарное уравнение Хохлова--Заболоцкой.

2. w_xx + (ae^βww_y)_y = 0.

3. [f(w)w_x]_x + [g(w)w_y]_y = 0.

Пример выполнения задачи (приведение к каноническому виду уравнений эллиптического типа)

Определить тип уравнения

(1)

и привести его к каноническому виду.

Решение:

1. Определим коэффициенты :

А=1, В= 0, С=4.

2. Вычислим выражение :

.

3. уравнение эллиптического типа во всей плоскости XOY.

4. Запишем уравнение характеристик:

. (2)

5. Решим уравнение (15). Для этого:

а) разрешаем уравнение (15) как квадратное уравнение относительно dy: ; (3)

б) уравнения (16) – это пара комплексно-сопряженных уравнений . Они имеют пару комплексно-сопряженных общих интегралов. (Уравнения эллиптического типа не имеют вещественных характеристик)

(4)

6. Введём характеристические переменные как вещественную и мнимую части одного из общих интегралов (17):

7. Пересчитаем производные, входящие в исходное уравнение.

Найдем сначала

Используя формулы (7), получим:

Здесь слева написаны коэффициенты уравнения (14) при соответствующих производных.

7. Собирая подобные слагаемые, получим:

Или после деления на 4 (коэффициент при и ):

Ответ. Уравнение (14) является уравнением эллиптического типа на всей плоскости XOY. Канонический вид

где

Двумерное уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа для неизвестной функции двух переменных имеет вид:

• 

Его решения называются гармоническими функциями.

Связь с аналитическими функциями

Вещественная и мнимая части любой голоморфной функции f комплексной переменной z = x + iy являются сопряжённо гармоническими функциями: они обе удовлетворяют уравнению Лапласа и их градиенты ортогональны. Если f=u+iv, то условия Коши-Римана утверждают следующее:

Складывая и вычитая уравнения друг из друга, получаем:

Также можно показать, что любая гармоническая функция является вещественной частью некоторой аналитической функции.

Граничные задачи

Граничные задачи ставятся следующим образом: найти функцию u, которая удовлетворяет уравнению Лапласа во всех внутренних точках области S, а на границе области  — некоторому условию. В зависимости от вида условия различают следующие кравевые задачи:

•  — задача Дирихле

•  — задача Неймана

http://dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics

http://umf.kmf.usu.ru/index.php?id=35&id1=0

http://eqworld.ipmnet.ru/ru/solutions/npde/npde-toc3.htm

http://ru.wikipedia.org