Министерство образования Российской Федерации

Московский государственный технический университет имени н.Э. Баумана методические указания

по выполнению курсовой работы

«Колебания линейной системы с одной степенью свободы»

по курсу

«Механика сплошной среды»

Кафедра ИУ-10 «Защита информации»

Москва, 2010

Утверждено на заседании кафедры ИУ-10 «Защита информации» протокол №01/07 от 03.09.2007.

Курсовая работа по дисциплине “Механика сплошной среды” проводится на 3-м семестре.

Оглавление

Список рекомендуемой литературы 19

ВВЕДЕНИЕ

Цель курсовой работы: закрепить знания студентов, получаемые при изучении раздела «Теория колебаний» курса «Механика сплошной среды» и привить навыки самостоятельного исследования колебательных процессов в механических системах. Работа выполняется на 3 семестре.

В курсовой работе рассматриваются малые колебания механической системы с одной степенью свободы около положения устойчивого равновесия. Требуется составить дифференциальное уравнение движения и найти его решение при заданных начальных условиях. Для вынужденных колебаний провести исследование процесса перехода от начального возмущенного движения к установившимся вынужденным колебаниям и построить амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы.

Механические системы, рассматриваемые в курсовой работе – плоские механизмы, расположенные в вертикальной плоскости и состоящие из твердых тел, нитей, демпферов и упругих элементов.

Линейно-вязкое сопротивление при движении системы возникает в демпфере, сила сопротивления которого пропорциональна скорости движения поршня , - коэффициент сопротивления демпфера; массой демпфера можно пренебречь.

Силы и моменты сил воздействия упругих элементов на тела пропорциональны удлинению пружин или углу закручивания спиральных пружин.

Выполненная курсовая работа оформляется по ГОСТ 7.32-2001 и представляется на защиту комиссии в форме доклада с использованием средств мультимедийной аудитории.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Условие задачи

Рис.1

Пара сил с моментом (М₀=4 Н·м, p=15 рад/с) действует на маховик 1 (рис.1), представляющий собой однородный диск массой m₁=4 кг и радиусом r=0,1м, который может вращаться вокруг горизонтальной оси O(z). Стержень 2 массой m₂=2кг шарнирами E и D связан с однородным стержнем 3 массой m₃=3кг и длиной 2l=0,6м.

Вращению стержня 3 вокруг горизонтальной оси B(z) препятствует спиральная пружина 4 с коэффициентом жесткости С₄=72 и демпфер 5 с коэффициентом сопротивления =40 .

В состоянии равновесия системы стержень 3 занимает горизонтальное положение. В момент времени t=0 стержню 3 в положении равновесия была сообщена начальная скорость =1,23 рад/с.

Решение

Рис.2

Составим дифференциальное уравнения движения системы, используя уравнения Лагранжа II рода, выбрав в качестве обобщенной координаты q(t) угол поворота стержня 3 вокруг оси B(z) (рис.2) с положительным направлением отсчета против хода часовой стрелки.

В силу наложенных на систему связей

, , . (1)

Кинетическая энергия системы

Т = Т₁ + Т₂ + Т₃ ,

;

при малых колебаниях звено 2 совершает мгновенно-поступательное движение, поэтому

;

.

Тогда

, (2)

Или

, где . (3)

Обобщенную силу Q представим в виде

Q = Q^П + Q^Ф + Q^В (t) .

Учтем, что горизонтальное положение равновесия стержня 3 возможно лишь при статической деформации пружины , которую определим из условия равновесия системы

,

или

,

тогда

. (4)

Запишем выражение, определяющее изменение потенциальной энергии системы при повороте стержня 3 на угол от положения статического равновесия

(5)

и, в силу (4), .

, с=с₄=72 Н·м, . (6)

Диссипативная функция Рэлея

,

откуда

; . (7)

При определении учтем, что возможные перемещения и связаны между собой так же, как угловые скорости маховика 1 и стержня 3:

, (8)

тогда

,

и, следовательно,

,

где

. (9)

Дифференциальное уравнение движения системы с учетом (3), (6), (7) и (9) имеет вид

, (10)

или в канонической форме

,

где

,

, (11)

.

Имеем случай “критического” сопротивления n = k, поэтому общее решение однородного уравнения q_о.о (t) запишем

. (12)

Справочно: При n>k – большое сопротивление – решение для qoo(t) имеет вид , где . qoo(t) имеет колебательный характер (описывает затухающие колебания) только при n<k – случай малого вязкого сопротивления. В этом случае qoo(t) может быть представлено одним из двух видов , или , где и A, α – произвольные постоянные, причем , , .

Частное решение уравнения

,

где

, (13)

,

поскольку ε меняется в пределах от 0 до π,

. (14)

Общее решение уравнения (10) имеет вид

.

Постоянные интегрирования и определяем при заданных начальных условиях t=0 q(0)=q₀=0, рад/с,

,

рад/с. (15)

Окончательный вид решения примера:

. (16)

Вычислим добротность системы Д и период вынужденных колебаний :

, с. (17)

Рис.3

Для оценки перехода от движения системы, возникшего в начальный момент t=0 в результате начального возмущения (q₀=0, рад/с), к установившимся вынужденным колебаниям построим графики и q(t) на интервале времени , достаточном для этого перехода:

с,

округлим до 1,25 с.

На рис.3 представлены графики и q(t). Видно, что на выбранном интервале времени при , а q(t) переходит в установившиеся вынужденные колебания.

Амплитудно-частотная и фазочастотная характеристики системы, построенные по значениям, приведенным в табл.1, даны на рис.4.

Таблица 1

z	λ	ε
0	1	0
0,5	0,8	0,927
1,0	0,5	1,571
1,5	0,308	1,966
2,0	0,2	2,214

Рис.4

Поскольку , максимальное значение и соответствует z=0.

Справочно: Сдвиг по фазе ε, т.е. отставание по фазе установившихся вынужденных колебаний от вынуждающей силы Коэффициент динамичности λ – отношение амплитуды установившихся вынужденных колебаний к статическому смещению где – коэффициент расстройки, – безразмерный коэффициент сопротивления. Статическое смещение системы Dст от положения равновесия под действием постоянной силы, равной амплитудному значению гармонического возмущающего воздействия Сдвиг по фазе относительно коэффициента расстройки Добротность – количество полных колебаний, после которых амплитуда уменьшится в раз, т.е. колебания станут исчезающее малыми Если случай , то максимальное значение будет при . Если , то при Резонанс имеет место при z=1, и тогда . Условный период затухающих колебаний Декремент затухания Логарифмический декремент затухания Постоянная времени затухающих колебаний

Варианты курсовой работы

Курсовая работа содержит 30 вариантов. Схемы механических систем изображены на рис.5-8. Необходимые числовые данные приведены в таблице 2 и, где это необходимо, на схемах задач. Для всех вариантов на рисунках задана обобщенная координата q(t), отсчитываемая от положения равновесия в невозмущенном состоянии, а в таблице 2 – соответствующие ей начальные условия. На всех рисунках номерами 1, 2 обозначены звенья, массу которых необходимо учитывать при составлении дифференциального уравнения движения, номером 3 – упругий элемент, номером 4 – демпфер.

Там, где это необходимо, на схемах вариантов указан радиус инерции звена относительно центральной оси, в остальных вариантах тела вращения принять за однородные сплошные цилиндры.

В вариантах 1,2,5,16,26,28 характеристики упругих элементов заданы через их статические деформации (линейные или угловые).

Внешнее воздействие во всех вариантах изменяется во времени по закону sin pt.

При выполнении курсовой работы необходимо:

1. Составить дифференциальное уравнение малых колебаний системы.

2. Получить решение этого уравнения и, используя заданные начальные условия, определить постоянные интегрирования и .

3. Определить период установившихся вынужденных колебаний и добротность системы Д, а для вариантов с малым линейно-вязким сопротивлением (n<k) дополнительно: - условный период затухающих колебаний, - логарифмический декремент колебаний, - постоянную времени затухающих колебаний.

4. Исследовать амплитудно-частотную и фазочастотную характеристики системы.

5. Оценить процесс перехода от начального возмущенного движения системы к установившимся вынужденным колебаниям, построив графики и .

Рис.5

Рис.6.

Рис.7.

Рис.8.

Таблица 2

№ вар	r	l	m1	m2	c3			F0(M0)	p	q(0)
	м	м	кг	кг		м(рад)		Н( )		м(рад)
1	0,4	-	50	-	-	0,1	1300	100	5	-0,2	1
2	0.1	-	3,8	4	-	0,019	78,4	3	10	0,01	-0,1
3	0,1	-	2	2	4800	-	300	5	40	0,02	-0,5
4	0,2	0,4	12	4	1073,5	-	480	10	9	0,02	-0,5
5	0,1	-	2	4	-	0,25	67,2	1	15	-0,02	-0,5
6	0,1	-	5	-	147	-	210	9	10	0,06	-6,0
7	0,1	-	8	6,8	2205	-	392	10	12	0,1	1
8	0,4	-	100	50	20150	-	500	200	10	0,1	-1
9	0,5	-	2	10	40,4	-	101	6	3	0,02	0,5
10	-	1	2	1	384	-	120	36	8	0,05	0,5
11	0,4	0,8	4	2	549	-	30	20	20	0,02	-0,5
12	0,2	-	20	10	640	-	320	100	20	0,05	0,2
13	-	0,5	3	6	244,1	-	96	20	8	0,1	1
14	0,2	-	8	2	500	-	400	12	11	0,05	-2,0
15	-	-	10	5	4500	-	200	120	20	0,02	0,1
16	-	-	4	16	-	0,12	20	40	8	-0,15	-1
17	0,2	-	2	4	6,4	-	40	1,5	6	0,1	-0,5
18	0,1	-	6	3	360	-	60	10	30	0,1	0
19	0,2	-	18	8	1600	-	500	10	120	0,05	-1
20	0,1	-	5	-	147	-	200	9	10	0,02	-0,5
21	-	1	2	2	400	-	100	40	7	0,05	0,5
22	-	0,5	1	1	200	-	200	50	20	0,1	-0,5
23	0,1	-	4	1	700	-	21	100	10	0,02	0,5
24	-	1	1	1	300	-	300	100	5	0,05	-0,5
25	-	0,5	2	2	450	-	130	80	12	0,05	0,5
26	0,2	-	12	13	-	0,05	100	120	5	0,05	0,5
27	0,1	0,5	3	1	400	-	300	20	10	0,1	1
28	0,2	-	5	10	-	0,2	50	2	10	0,02	0,5
29	0,5	-	10	-	6000	-	150	- S0=0,03м	50	0,1	-1
30	-	0,5	0,5	1	3278,4	-	96	- S0=0,05м	16	0,1	-0,5