Закон всемирного тяготения
Этот главный для астрономии закон выведен И.Ньютоном в 1687 г. опытным путем (и, насколько мне известно, до сих пор не подтвержден теоретически). Закон утверждает, что два точечных тела с массами m1 и m2 притягивают друг друга с силой
F = G*m1*m2/r2 (1)
где r - расстояние между телами, а G - гравитационная постоянная. Ускорение, которое испытывает тело m2, находящееся на расстоянии r от данного тела m1, равно:
a2 = F/m2 = G*m1/r2 (2)
Закон справедлив и для протяженных тел со сферически-симметричным распределением массы, при этом r - расстояние между центрами симметрии тел. Для несферических тел закон соблюдается приближенно, причем тем точнее, чем больше расстояние между телами (между их центрами масс) по отношению к размерам тел.
Все это всем известно еще со школы, и, казалось бы, без математических выкладок добавить больше нечего. Однако это не так.
Согласно (1), сила притяжения пропорциональна массам и обратно пропорциональна квадрату расстояния. Но масса пропорциональна кубу линейного размера тела. Это означает, что если размеры тел и расстояния между ними (при сохранении их плотностей) пропорционально увеличить, например, в 10 раз, то их массы возрастут в 1000 раз, а квадрат расстояния - только в 100, поэтому сила притяжения увеличится в 10 раз! То есть при увеличении масштаба масса растет на порядок быстрее, чем квадрат расстояния! Из-за ничтожного значения гравитационной постоянной силы притяжения между отдельными предметами на поверхности Земли крайне малы по сравнению с силой притяжения самой Земли, но уже в межпланетных масштабах (сотни миллионов километров) увеличение масс компенсирует G и гравитация становится главной силой.
При уменьшении масштабов проявляется обратный эффект, хоть это уже из биологии. Если, к примеру, уменьшить человека до размеров муравья, т.е. примерно в 100 раз, то его масса уменьшится в 1 000 000 раз. А поскольку сила мышц примерно пропорциональна их поперечному сечению, т.е. квадрату линейного размера, то она уменьшится только в 10 000 раз, т.е. будет 100-кратный выигрыш в силе! Нетрудно догадаться, что фактически насекомые обитают в условиях сильно пониженной по сравнению с более крупными животными гравитации. Поэтому вопрос о том, какой вес смог бы поднять муравей, если бы был размером со слона, просто не имеет смысла. Строение тела насекомых и вообще всех мелких животных оптимально именно для пониженного тяготения, и ноги у муравья просто не выдержат веса тела, не говоря уже о каком-то дополнительном грузе. Так сила тяжести накладывает ограничения на размеры наземных животных, и самые крупные из них (например, динозавры), по-видимому, существенную часть времени проводили в воде.
Летательные способности в животном мире также ограничены массой тела. Не только сила мышц, но и площадь крыльев растет пропорционально квадрату линейных размеров, т.е. для при некоторой предельной массе тела полеты становятся невозможными. Эта критическая масса составляет примерно 15-20 кг, что соответствует весу самых тяжелых из земных птиц. Поэтому очень сомнительно, что древние гиганские ящеры действительно могли летать; скорее всего, их крылья позволяли им только планировать с дерева на дерево.
Определите скорость вращения планеты вокруг Солнца, считая что она движется по окружности.
например, скорость Юпитера
Для определения скорости Вам надо знать радиус орбиты (R) и период обращения(T) (если знаете что-то одно, радиус или период, вторая величина вычисляется из отношения радиусов и периодов, используя данные Луны или земли). Дальше
V= 2x(Pi)xR/T
7. Решить задачу:
7.8 Масса движущегося электрона в три раза больше его массы покоя. Вычислить дебройлеровскую длину волны электрона.
Ответ:
Электрон, как и любая другая частица, проявляет не только корпускулярные, но и волновые свойства. Для их описания используется дебройлевская длина волны λD. Оценим её из соображений размерности. Для электрона как волны имеем
где волновые свойства электрона описываются параметром ω, имеющим размерность частоты. Ему соответствует характерное время Dt=1/ω, откуда
Из скорости электрона V и промежутка времени Dt составим комбинацию с размерностью длины:
Она называется дебройлевской длиной волны и, согласно приведённым выкладкам, равна
К той же самой величине мы приходим, исходя из соотношения неопределённостей, если определим длину волны де Бройля как неопределённость положения электрона по одному измерению:
8. В каких агрегатных состояниях может находиться вещество? От каких факторов зависит состояние вещества? В каком состоянии вещества находятся звезды? Что является источником энергии Солнца и звезд? Найдите энергию, выделяющуюся при термоядерной реакции:
Ответ:
Звезды светят очень и очень долго. За это время они успевают высветить действительно огромные количества энергии. Откуда же она черпается?
Как уже говорилось, вопрос был поставлен в 40-е годы XIX века, с открытием закона сохранения энергии. Сразу же стало ясно, что источником энергии в принципе может быть гравитация. Так, Роберт Мейер, один из отцов закона сохранения энергии, полагал, что Солнце светится за счет кинетической энергии выпадающего на него метеорного вещества. Любопытно, что в течение многих десятилетий гипотеза Мейера считалась чуть ли не смехотворной и упоминалась лишь как исторический курьез. Однако теперь мы знаем, что модернизированный вариант механизма Мейера аккреция играет в мире звезд важную роль.
Другой пионер принципа сохранения энергии Герман Гельмгольц предположил, что свечение Солнца может поддерживаться его медленным вековым сжатием, что приводит, разумеется, к выделению гравитационной энергии. Вскоре вслед за Гельмгольцем Дж. Томсон (более известный нам как лорд Кельвин; титул лорда он получил за научные заслуги) уточнил его оценку времени такого сжатия, учтя неоднородность в распределении солнечного вещества вдоль радиуса. За счет такого, как мы теперь говорим, кельвиновского сжатия Солнце могло бы, заметно не меняясь, светить лишь десятки миллионов лет. Любопытно, что сам Кельвин, а вслед за ним и многие другие, рассматривали это как серьезный аргумент против правильности дарвиновских представлений о биологической эволюции, требовавшей по крайней мере на порядок больших времен. В конце XIX века вера в закон сохранения энергии была незыблема а никакого другого источника энергии звезд, кроме самогравитации, видно не было. Правда, оценки возраста Земли, получавшиеся средствами геологии, давали по крайней мере сотни миллионов лет, что указывало на необходимость поиска какого-то дополнительного источника солнечной энергии.
Ситуация резко обострилась, можно сказать стала катастрофической, вскоре после открытия радиоактивности. Первые же надежные определения возраста Земли показали, что он не менее 1.5 миллиарда лет (современная оценка 4.6 миллиарда). Отыскание источника энергии Солнца и звезд стало одной из жгучих проблем естествознания.
К середине 20-х годов выяснилось, что таким источником в принципе могли бы служить ядерные реакции, ведущие к превращению водорода в гелий. Масса четырех протонов слегка превосходит массу ядра атома гелия альфа-частицы, так что при таком процессе превращалось бы энегрию около 0.7% массы покоя. Но по соотношению Эйнштейна E = mc 2 при превращении в энергию даже очень малой массы m выделяется колоссальная энергия, так как множитель пропорциональности квадрат скорости света c 2 очень велик (в системе СГС порядка 1021). Горячим проповедником идеи термоядерного горения водорода в 20-е годы был фактический создатель теории внутреннего строения звезд А.Эддингтон. Однако поначалу эта идея встретила серьезные возражения Резерфорда и его коллег. Температура в центре Солнца, рассчитанная самим же Эддингтоном (20 млн. кельвинов) и оказавшаяся, как мы теперь твердо знаем, близкой к действительной (15.5 млн. кельвинов), явно недостаточна для того, чтобы за счет кинетической энергии своего теплового движения протоны могли преодолеть электростатическое кулоновское отталкивание и сблизиться настолько, чтобы вступили в игру ядерные силы. Расхождение было очень серьезным на три порядка по температуре. "Пойдите поищите местечко погорячее" вот что постоянно слышал Эддингтон от своих коллег-физиков...
Решение проблемы пришло с развитием квантовой механики. Согласно принципу неопределенности Гейзенберга, говорить о точном местоположении частицы не имеет смысла она как бы размазана по некоторой области пространства и с разной вероятностью может быть обнаружена в разных местах. Это, в частности, делает возможным присутствие частицы и в тех областях пространства, где классические законы сохранения энергии и импульса это строго запрещают. В итоге непреодолимый для классической частицы кулоновский потенциальный барьер становится как бы "полупрозрачным" (так называемый туннельный эффект). Первыми на роль этого эффекта для решения загадки источников звездной энергии в 1929 г. указали Р.Аткинсон и Ф.Хаутерманс. Созданная в это же примерно время Г.А.Гамовым теория альфа-распада дала математический аппарат, положенный в конце тридцатых годов в основу количественной теории термоядерных реакций в недрах звезд. В 1937-1939 годах появляется, наконец, долгожданное окончательное решение давней загадки источника звездной энергии (Г.Бете и независимо К.Вейцзекер).
Слить четыре протона в альфа-частицу за один акт практически невозможно: вероятность четверного столкновения пренебрежимо мала, поэтому процесс идет в несколько шагов. Детальный анализ всех возможных при температурах порядка 20 млн. кельвинов ядерных реакций в газе космического химического состава привел к открытию двух возможных способов построить альфа-частицу из протонов.
Первый способ это знаменитый CN-цикл, или цикл Бете. Вот эта цепочка реакций:
Ее итогом является, очевидно, слияние четырех протонов в a-частицу, а углерод, азот и кислород выступают лишь как катализаторы. При всей кажущейся очевидности последнего утверждения оно нуждается в оговорке, имеющей важное значение для астрономов: на начальном этапе работы цикла, пока еще не установился стационарный режим, большая часть углерода превращается в азот, а оставшийся углерод приобретает специфический изотопный состав, резко отличающийся от того, который имеется на Земле и в атмосфере Солнца. По этим признакам можно с уверенностью опознавать вещество, подвергшееся переработке в CN-цикле.
Второй способ синтеза альфа-частиц в звездах так называемая pp - цепочка:
Первые две реакции происходят по два раза, так как надо выработать два ядра 3He, прежде чем сможет произойти заключительная реакция, синтезирующая 4He.
Первоначально считалось, что наше Солнце вырабатывает свою энергию по первой схеме, т.е. за счет цикла Бете. В 50-е годы, однако, стало ясно, что это не так, и преобладающую роль играют pp - цепочки. Причина в том, что, как показал более внимательный анализ, центральная температура Солнца немного ниже, чем принималось ранее, а рост темпа выделения энергии с температурой у цикла Бете происходит существенно быстрее, чем для pp-цепочек. Однако в звездах с массами, превосходящими 1.2 массы Солнца, доминирует в выделении энергии CN-цикл.
Простой энергетический расчет показал, что в Солнце выгорание водорода в его центральной части займет около 10 млрд. лет. Проблема источников энергии Солнца и подавляющего большинства звезд, в частности, всех звезд так называемой главной последовательности, была тем самым окончательно решена. Однако ее решение сразу же дало и другой, важнейший для всей астрономии результат: стало ясно, что рождение звезд это непрерывный процесс, который происходит буквально на наших глазах. Так как запасы ядерной энергии, очевидно, пропорциональны массе звезды, а темп ее расходования светимость звезды пропорциональна, грубо говоря, кубу массы, ясно, что все массивные звезды должны быть по астрономическим меркам совсем молодыми. Взяв в качестве примера массивную звезду Y Лебедя, Бете в своей эпохальной работе пришел к выводу, что возраст этой звезды должен быть менее 3.5·107 лет. "Приходится предположить, что Y Лебедя и подобные ей другие массивные звезды родились сравнительно недавно" писал он в 1939 г. Отождествление источников энергии звезд открыло прямой путь к пониманию эволюции звезд другому великому достижению естествознания XX века.