- •Поняття трансформації в економіці
- •Трансформаційні особливості економіки
- •Концепції управління перехідною економікою
- •Складання диференціального рівняння системи за її структурною схемою.
- •З'єднання ланок із зворотним зв'язком в одновимірній економічній системі.
- •Аналіз вихідних характеристик одновимірних економічних систем
- •Принцип суперпозиції для лінійних систем(вільні і вимушені рухи).
- •Способи знаходження перехідної матриці в багатовимірнихз системах
- •Знаходження перехідної матриці за теоремою розкладання Сильвестра
- •Аналіз стійкості економічних систем
Способи знаходження перехідної матриці в багатовимірнихз системах
Для знаходження перехідної матриці використовують 3 способи :
метод варіації довільних сталих.
Якщо фундаментальна матриця , стовпці якої утв.фундаментальну систему рішень одномірної системи диф. рівняння , відома, то перехідна матриця знах. за формулою =
2)за теоремою розкладання Сильвестра. Перехідна матриця стаціонарної системи визначається за формулою:
Де - власні значення матриці А (тут передбачається, що вони різні), а Е - одинична матриця.
3)за теоремою Келі-Гамільтона. Розглянемо два випадки її застосування. 1. У разі різних власних значень матриці А: де n - число рядків матриці А; - (n-1)-й ступінь матриці А; коефіцієнти знаходяться із системи рівнянь 2. У разі кратних власних значень матриці А формула також справедлива.Корню кратності m в системі n рівнянь відповідають співвідношення
Знаходження перехідної матриці методом варіації довільних сталих Якщо фундаментальна матриця , стовпці якої утв.фундаментальну систему рішень одномірної системи диф. рівняння , відома, то перехідна матриця знах. за формулою =
Загальне рішення однорідної системи можна записати у вигляді де - довільні постійні.
Для стационарных систем следует выполнить действия:
Знайти корені ХР де Е – одинична матриця.
2. Выписать выражение общего решения для каждой компоненты вектора x, следуя известным правилам в зависимости от типа корней. При этом произвольные постоянные в выражении различны.
3. Полученные выражения подставить в однородную систему.
4. Приравнять коэффициенты при одинаковых функциях аргумента t и решить полученную систему уравнений.
5. Выписать общее решение, зависящее от n произвольных постоянных в форме . В результате находится фундаментальная матрица, а по формуле – переходная.
Знаходження перехідної матриці за теоремою розкладання Сильвестра
Перехідна матриця стаціонарної системи визначається за формулою:
Де - власні значення матриці А (тут передбачається, що вони різні), а Е - одинична матриця.Приклад:
А Тоді .
Знаходження перехідної матриці з використанням теореми Келі-Гамільтона Розглянемо два випадки її застосування. 1. У разі різних власних значень матриці А: де n - число рядків матриці А; - (n-1)-й ступінь матриці А; коефіцієнти знаходяться із системи рівнянь 2. У разі кратних власних значень матриці А формула також справедлива.Корню кратності m в системі n рівнянь відповідають співвідношення
Аналіз стійкості економічних систем
Економічна система — це сукупність усіх видів економічної діяльності людей у процесі їх взаємодії. Система називається стійкою, якщо вона стійка за входом і за початковими даними. Вигляд ДР: = .
Система називається стійкою за початковими даними, якщо за ненульових обмежених поч. умов віл. рух обмежений при всіх t і =0.
Система називається стійкою за входом, якщо при будь-якій обмеженій дії реакція системи є обмеженою у будь-який момент часу t .
Критерії стійкості: 1)стійка за поч. даними; 2) критерій Рауса-Гурвіца; 3)стійка за входом.
Необхідна умова стійкості: якщо система стійка, то всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні.
Приклад: = g Характеристичне рівняння має від’ємні(кратні) корені = - 1, ао=1>0, система стійка. Порядок (m = 0) правої частини рівняння меньше порядка (n = 2) лівої частини - m<n – система стійка за входом. Згідно 1) і 3) критеріям система стійка.
Стійкість економічних систем за початковими даними
Економічна система — це сукупність усіх видів економічної діяльності людей у процесі їх взаємодії.
Система називається стійкою за початковими даними, якщо за ненульових обмежених поч. умов віл. рух обмежений при всіх t і =0.
Критерій стійкості : Для стійкості системи за поч. даними необхідно і достатньо, щоб корені характеристичного рівняння = 0 мали від’ємні дійсні частини : Re < 0, i = 1,…, n знаходились в лівій півплоскості комплексної плоскості.
Приклад: = g Характеристичне рівняння має від’ємні(кратні) корені = - 1, ао=1>0, система стійка за початковими даними.
Стійкість економічних систем за входом
Економічна система — це сукупність усіх видів економічної діяльності людей у процесі їх взаємодії.
Система називається стійкою за входом, якщо при будь-якій обмеженій дії реакція системи є обмеженою у будь-який момент часу t .
Критерій стійкості : Якщо с-ма стійка за поч. даними і порядок m диференціального оператора M(p)= +…+ правої частини рівняння не більше порядку n і диференціального оператора D(p)= +…+ лівої частини, тобто m n, то система стійка за входом.
Приклад: = g. Порядок (m = 0) правої частини рівняння меньше порядка (n = 2) лівої частини - m<n – система стійка за входом.
Прямий і побічний критерії стійкості економічних систем
Перший критерій стійкості(за початковими даними) називається прямим, а другий(критерій Рауса-Гурвіца) – побічним, тому що в цьому випадку процедура аналізу стійкості не вимагає знаходження коренів рівняння.
Для стійкості системи за поч. даними необхідно і достатньо, щоб корені характеристичного рівняння = 0 мали від’ємні дійсні частини : Re < 0, i = 1,…, n знаходились в лівій півплоскості комплексної плоскості.
Критерій Рауса-Гурвіца - для стійкості системи за поч. даними необхідно і достатньо, щоб кутові мінори матриці були додатніми >0, i=1,…,n, де = , = …
Приклад: = g Характеристичне рівняння має від’ємні(кратні) корені = - 1, ао=1>0, система стійка за початковими даними.
Критерій Рауса-Гурвіца
Економічна система — це сукупність усіх видів економічної діяльності людей у процесі їх взаємодії. Критерій Рауса-Гурвіца(використовується для перевірки від’ємних дійсних частин коренів характеристичного рівняння) – для стійкості системи за поч. даними необхідно і достатньо, щоб кутові мінори матриці були додатніми >0, i=1,…,n, де = , = …
При заповненні матриці відсутні в рівнянні коефіцієнти і при і >n заміняються 0.
Приклад: = g. = 1, = 2, = 3, = 4.
Розраховуємо кутові мінори: = 2 > 0, = =2 > 0, .Вони додатні. Згідно критерію Рауса-Гурвіца с-ма стійка.
Стійкість багатовимірних економічних систем
Розглядається лінійна багатовимірна стаціонарна система , Багатовимірна система називається асимптотично стійкою, якщо її вільний рух обмежений при початкових станах і виконується умова
Приклад: Тоді Характеристичне рівняння або має від’ємні корені: Згідно в першим критерієм( ) система стійка.
Необхідна умова стійкості економічних систем
Необхідна умова стійкості: якщо система(для багатовимірних с-м – асимптотично) стійка, то всі коефіцієнти характеристичного рівняння додатні.
Приклад одновимірної: = g Характеристичне рівняння має від’ємні(кратні) корені = - 1, ао=1>0, система стійка. Порядок (m = 0) правої частини рівняння меньше порядка (n = 2) лівої частини - m<n – система стійка за входом. Згідно 1) і 3) критеріям система стійка.
Приклад багатовимірної: Тоді Характеристичне рівняння або має від’ємні корені: Згідно в першим критерієм( ) система стійка.
Достатні критерії стійкості економічних систем
Критерії стійкості багатовимірних систем:
Для асимптотичної стійкості системи необхідно і достатньо, щоб корені характеристичного рівняння det мали від’ємні дійсні частини: Re , ,…,n, тобто знаходились в лівій півплоскості комплексної плоскості.
Критерій Рауса-Гурвіца(використовується для перевірки від’ємних дійсних частин коренів характеристичного рівняння).
Приклад: Тоді Характеристичне рівняння або має від’ємні корені: Згідно в першим критерієм( ) система стійка.
Аналіз керованості та спостережуваності систем
Нехай дана багатовимірна система, що описує рівняння стану і виходу з відповідними матрицями А, В, С -
Система називається керованою, якщо вибором деякого керуючого впливу її можна перевезти з довільного початкового стану у довільний наперед заданий кінцевий стан.
Система називається спостережуваною, якщо за реакцією на виході системи при заданому керуючому впливі можна визначити початковий стан системи.
Алгоритм рішення : 1) в рівняннях стану та виходу виділимо матриці А, В, С; 2) зіставимо матрицю керованості W та матрицю спостережуваності Q; 3) підрахувати ранги обох матриць и зробити висновок про керованість та спостережуваність на основі кожного критерію.
Приклад:
(B AB) ( ) Згідно з критеріями система є керованою, але не являється повністю спостережуваною.
Критерій керованості трансформаційних систем
Для того, щоб система була керованою необхідно і достатньо, щоб ранг матриці керованості ( … ) дорівнював вимірності вектора стану .
Алгоритм рішення : 1) в рівняннях стану та виходу виділимо матриці А, В, С; 2) зіставимо матрицю керованості W та матрицю спостережуваності Q; 3) підрахувати ранги обох матриць и зробити висновок про керованість та спостережуваність на основі кожного критерію.
Приклад:
(B AB) Згідно з критерієм система є керованою.
Критерій спостережуваності трансформаційних сисі достатем
Для того, щоб система була достатньо спостережуваною, необхідно і достатньо, щоб ранг матриці спостережуваності Q=( … ) дорівнював вимірності вектора стану .
Алгоритм рішення : 1) в рівняннях стану та виходу виділимо матриці А, В, С; 2) зіставимо матрицю керованості W та матрицю спостережуваності Q; 3) підрахувати ранги обох матриць и зробити висновок про керованість та спостережуваність на основі кожного критерію.
Приклад:
( ) Згідно з критерієм система є спостережуваною..