Аналіз вихідних характеристик одновимірних економічних систем

Постановка задачі:Нехай відомі:а) вхідний сигнал g(t)

б) система, що описується рівняннями стану (1)

в) початкові умови: (2)

Потрібно знайти закони зміни вектора стану x(t) і вектора виходу(t).

Для лінійних систем справедливий принцип суперпозиції: ефект, що викликається сумою декількох дій, дорівнює сумі ефектів від кожної з дій окремо.Вихідний сигнал лінійної системи представлений у вигляді суми вільного і вимушеного рухів:

Вільний рух х_віл(t) відбувається за відсутності зовнішньої дії (g(t)≡0)унаслідок ненульових початкових умов. Він отримується як розвязок однорідного ДР, що відповідає початковому рівнянню ,

з початковими умовами . Якщо початкові умови нульові, вільний рух в системі відсутній, тобто .

Вимушений рух - відбувається внаслідок зовнішньої дії g(t) за нульових початкових умов. Він отримується як розвязок неоднорідного рівняння за нульових поч.. умов.

Вимушений рух відмінний від 0 тільки після прикладання зовнішньої дії. Якщо , то

Алгоритм розвязку задачі:

1. Знайти вільний рух, розв’язавши однорідне ДР , із заданими початковими умовами

2. Знайти вимушений рух, розв’язавши неоднорідне ДР із нульовими початковими умовами.

3. Визначити вихідний сигнал, як суму вільного і вимушеного рухів.

Принцип суперпозиції для лінійних систем(вільні і вимушені рухи).

Для лінійних систем справедливий принцип суперпозиції: ефект, що викликається сумою декількох дій, дорівнює сумі ефектів від кожної з дій окремо. Тому вихідний сигнал лінійної системи представлений у вигляді суми вільного і вимушеного рухів:

Вільний рух х_віл(t) відбувається за відсутності зовнішньої дії (g(t)≡0)унаслідок ненульових початкових умов. Він отримується як розвязок однорідного ДР, що відповідає початковому рівнянню ,

з початковими умовами . Якщо початкові умови нульові, вільний рух в системі відсутній, тобто .

Вимушений рух - відбувається внаслідок зовнішньої дії g(t) за нульових початкових умов. Він отримується як розвязок неоднорідного рівняння за нульових поч.. умов.

Вимушений рух відмінний від 0 тільки після прикладання зовнішньої дії. Якщо , то

Вільний процес в одновимірній системі

Вільний рух х_віл(t) відбувається за відсутності зовнішньої дії (g(t)≡0)унаслідок ненульових початкових умов. Він отримується як розвязок однорідного ДР, що відповідає початковому рівнянню ,

з початковими умовами . Якщо початкові умови нульові, вільний рух в системі відсутній, тобто .

Вимушений (керований) процес в одновимірній системі

Вимушений рух - відбувається внаслідок зовнішньої дії g(t) за нульових початкових умов. Він отримується як розв’язок неоднорідного рівняння за нульових поч.. умов.

Вимушений рух відмінний від 0 тільки після прикладання зовнішньої дії. Якщо , то

Залежність реакції системи від коренів характеристичного рівняння

Спочатку потрібно записати рівняння у вигляді однорідного ДР.

Характеристичне рівняння має вигляд:

В залежності від того, якими будуть корені рівняння вибирається різний вид розв’язку ДР.

Випадки:

1)Якщо всі корені дійсні та різні, то розвязок однорідного рівняння має вигляд

2)Якщо серед коренів є кратний дійсний корінь кратності к, то йому відповід наступна складова розвязку:

, де

- довільні сталі.

3)Якщо серед коренів ХР є комплексні корені, то кожній парі комплексних спряжених коренів відповідає така складова розвязку:

4)Якщо серед коренів ХР є комплексні спряжені корені кратності к, то відповідна складова частина роз-ку має вигляд:

Частинний розв’язок неоднорідного рівняння знаходиться методом довільних сталих або методом підбору.

Алгоритм знаходження вільного та вимушеного процесів.

Алгоритм розвязку задачі:

1. Знайти вільний рух, розв’язавши однорідне ДР , із заданими початковими умовами

2. Знайти вимушений рух, розв’язавши неоднорідне ДР із нульовими початковими умовами.

3. Визначити вихідний сигнал, як суму вільного і вимушеного рухів.

Опис багатовимірних трансформаційних систем за допомогою ДР

Вхідні, вихідні і проміжні детермінованісигнали убагатовимірних системах представляються вектор-функціями часу, наприклад:

Де :

g(t) - r -вимірний вхідний, а y(t) - k -вимірний вихідний сигнали. 

Як компоненти вхідного сигналу g(t)  можуть використовуватися одиничні ступінчасті функції і дельта-функції.

Багатовимірні системи описуються двома рівняннями: рівняннями стану

Де : Х- стани, А,В- коефіцієнти матриці

З поч. умовами і рівнянням виходу

Матриця стануА(t)-nxn Матр входу B(t)-nxr Матр виходу Y(t)=c(t)*x(t) C(t)- kxn

Входи, виходи та стани складних економічних систем.

Багатовимірні лінійні нестаціонарні системи на відміну від одновимірних мають r і k виходів. Вони описуються : рівняннями стану:

з початковими умовами: і рівнянням виходу :

Матриця стану(А) - nxn. Матриця входу(В) – nxr. Матриця виходу - C(t)*x(t) – kxn.

Приклад: X1=x2+g X2=-x1-2x2-g y=x1 y2=x1+x2

Перехідна матриця економічної системи

Для багатовимірних нестаціонарних систем поведінка векторів стану та виходу визначається за формулами

Де  - перехідна матриця, або матриця Коші, що є рішенням рівняння з початковою умовою

законы изменения вектора состояния и вектора выхода находятся по формулам

где - переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности .

Фундаментальна матриця розв'язків багатовимірної системи.

Фундаментальная матрица , столбцы которой образуют фундаментальную систему решений одномерной системы дифференцированных уравнений. Загальне рішення однорідної системи можна записати у вигляді де  - довільні постійні.

Фундаментальная система (матрица) решений (ФСР) представляет собой набор линейно независимых решений однородной системы уравнений.

Однородной системой линейных уравнений называется система вида:

Нулевое решение системы (1) называется тривиальным решением.

Однородные системы всегда совместны, т.к. всегда существует тривиальное решение.

Если существует любое ненулевое решение системы, то оно называется нетривиальным

Рівняння стану та виходу з’єднань

Багатовимірні лінійні нестаціонарні системи на відміну від одновимірних мають r і k виходів  Вони описуються :

рівняннями стану: з початковими умовами: і рівнянням виходу :

Матриця стану(А) - nxn. Матриця входу(В) – nxr. Матриця виходу - C(t)*x(t) – kxn.

Нехай задані матриці А1 В1 С1 першої системи - кількість станів входів і виходів та А2 В2 С2 - .Потрібно враховуючи тип зєднання системи знайти загальні матриці А В С і на основі них записати загальне рівняння стану і виходу системи.

Приклад.

Вимірність: n=2, r=1, k=1

А(t) B(t)

C(t)

Паралельне з’єднання ланок в багатомірній трансф. системі

Тут повинні виконуватися умови к1=к2 та r1=r2. Загальні матриці мають вигляд.

Послідовне з’єднання ланок в багатомірній трансф. системі

Повинні виконуватись умови: r2=k1,Загальний вигляд матриці :

З’єднання ланок в багатомірній трансф. системі із зворотним зв’язком

Тут повинні виконуватися умови r1=k2, r2=k1.Загальний вигляд матриці :

Аналіз вихідних характеристик багатовимірних економічних систем.

Постановка задачі: а) вхідний сигнал g (t); b) система, що описується рівняннями стану і виходу   в) вектор початкових станів x0 

где x – n-мерный вектор состояния; g – r-мерный вектор входных воздействий (управлений); y – k-мерный вектор выхода (вектор изменений); Хо- вектор начальных состояний. Потрібно знайти закони зміни вектора стану x (t) і вектора виходу y (t).

Так як і для лінійних систем для багатовимірних систем справедливий принцип суперпозиції.

Вільний і вимушений процеси в багатовимірних економічних системах

Вільний рух відбувається за відсутності зовнішньої дії (g(t)≡0)унаслідок ненульових початкових умов. Визначається розв’язуванням однорідної системи рівнянь що відповідає рівнянню стану . З початковими умовами: .

Вимушений рух - це реакція системи на зовн. дію g(t) при нульових поч.. умовах. Визначається розв’язком неоднорідного рівняння з нульових умов. Для багатовимірних систем що описуються рівняннями:

Шукані вектори стану і виходу знаходяться за формулами:

где - переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности .

Зв'язок перехідної матриці (матриця Коші) та фундаментальної матриці

Фундамента́льная ма́трица − матрица, столбцы которой образуют фундаментальную систему решений некоторой системы дифференциальных уравнений.

Фундаментальная матрица , столбцы которой образуют фундаментальную систему решений одномерной системы дифференцированных уравнений. Загальне рішення однорідної системи можна записати у вигляді де  - довільні постійні.

Для багатовимірних нестаціонарних систем поведінка векторів стану та виходу визначається за формулами

Де  - перехідна матриця, або матриця Коші, що є рішенням рівняння з початковою умовою

Шукані вектори стану і виходу знаходяться за формулами:

где - переходная матрица стационарной системы, зависящая от разности .