4. Дифференциальные зависимости между q, q и м (зависимости Журавского). Использование дифференциальных зависимостей для построения и контроля построения эпюр внутренних усилий при изгибе

Для расчета балок на прочность и жесткость строятся графики, изображающие характер изменения внутренних силовых факторов Q и М по длине балки. Подобные графики называются эпюрами. Их построение и проверка правильности построения упрощаются при использовании дифференциальных зависимостей между поперечной силой Q, изгибающим моментом М и интенсивностью рас­­­пределенной нагрузки q.

Эти зависимости, полученные Д.И. Журавским, имеют вид:

; (4.5)

; (4.6)

. (4.7)

Они позволяют установить некоторые характерные особенности эпюр поперечных сил и изгибающих моментов.

Из анализа формул (4.5) - (4.7) следует:

Рис.4.30. Вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов при отсутствии распределенной нагрузки

- Если к участку балки приложено несколько сосредоточенных сил, а распределенной нагрузки нет, эпюра поперечной силы ограничена отрезками горизонтальных прямых, параллельных оси балки, а эпюра изгибающего момента – отрезками наклонных прямых (рис.4.30). Если при этом Q > 0 - изгибающий момент возрастает, а при Q < 0 - убывает. В сечении, где к балке приложена сосредоточенная сила, на эпюре Q будет скачок на величину этой силы, а на эпюре изгибающего момента - перелом, острие которого направлено навстречу вектору приложенной силы.

- Если на участке балки поперечная сила Q = 0, эпюра изгибающего момента параллельна оси балки (рис.4. 31), при этом изгибающий момент, оставаясь постоянным, может быть как положительным, так и отрицательным.

Рис.4.31. Вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

для случая, когда Q = 0

- Если в сечении балки приложена пара сил (сосредоточенный момент), на эпюре М будет скачок, равный величине приложенной пары, на эпюре Q изменений не будет (рис.4.32).

Рис.4.32. Вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

для случая, когда к участку балки приложены две пары сил

и сосредоточенная сила

- Если к участку балки приложена равномерно распределенная нагрузка интенсивностью q, эпюра поперечной силы ограничена наклонной прямой (рис.4.33), а эпюра М - квадратной параболой.

Рис.4.33 Вид эпюр поперечных сил и изгибающих моментов для случая, когда к участку балки приложена равномерно распределенная нагрузка

(эпюра М построена на сжатом волокне): а) нагрузка направлена вниз, б) нагрузка направлена вверх

При построении эпюры изгибающих моментов на сжатых волокнах выпуклость параболы направлена в сторону, противоположную направлению действия распределенной нагрузки. В сечении, где поперечная сила, изменяясь непрерывно, об­ра­щается в ноль, изгибающий момент экстремален: максимален при изменении знака поперечной силы с «плюса» на «минус» и минимален в противоположном случае (см. рис.4.33,а, б).

- При отсутствии консоли изгибающий момент над шарнирной опорой равен нулю. Если в балке имеется промежуточный шарнир, изгибающий момент в этом шарнире равен нулю (рис.4.34) .

Рис.4.34. Расчетные схемы балок

При построении эпюр на сжатых волокнах положительные значения Q и M откладываются в масштабе вверх, отрицательные - вниз от осей эпюр.

Примечание: при проектировании строительных конструкций принято противоположное правило построения эпюры изгибающих моментов – их положительные значения откладываются вниз от оси эпюры.

171