3.3. Отклонение падающих тел. Маятник Фуко.

Рассмотрим свободное падение тел в поле тяжести Земли. В этом случае мы должны положить в уравнении (22), которое, с учетом вращения Земли, примет вид:

(28)

Вращение Земли приводит к появлению центробежной силы, вклад которой учтен в векторе , который теперь направлен не к центру Земли, а по отвесу (эта сила входит в вектор как его составная часть), и кориолисовой силы.

При падении тел без начальной скорости кориолисова сила инерции проявляется в отклонении свободно падающих тел к востоку и экватору от направления отвеса.

Точное решение этой задачи сводится к решению дифференциального уравнения (28) и, несмотря на его кажущуюся простоту, весьма громоздко и трудоемко. Более того, этот путь вряд ли оправдан, поскольку при самой формулировке уравнения (28) мы уже пренебрегли зависимостью от координат.

Здесь мы воспользуемся решением задачи, полученным методом последовательных приближений (см. Сивухин, т.I, с.354-356). Найденные этим методом выражения для восточного и экваториального отклонений имеют вид:

; ,

где высота падания; период суточного вращения земли; угол географической широты рассматриваемого места.

Из-за наличия малых множителей отклонения и очень малы, причем мало настолько, что недоступно экспериментальному измерению.

Значения на широте Москвы ( ) составляют при падении тела с высоты и при . Несмотря на малость эффекта, уже в середине XIX века его с уверенностью удалось наблюдать в опытах с падением тел в глубоких шахтах.

Опыты по отклонению падающих тел к востоку, в принципе, дают экспериментальное доказательство неинерциальности системы отсчета, связанной с Землей. Однако точность таких опытов, как мы видим, невелика, поэтому для этой цели больше подходит маятник Фуко.

Маятник Фуко.

Маятник Фуко представляет собой массивный груз, подвешенной на длинной нити (проволоке), верхний конец которой укреплен с помощью карданного шарнира, позволяющего

маятнику качаться в любой вертикальной плоскости.

Рассмотрим движение маятника Фуко в инерциальной системе отсчета,

связанной со звездами. Если маятник отклонить от вертикали и отпустить,

не сообщая ему начальной скорости, то действующие на груз маятника сила

земного тяготения и сила натяжения нити обеспечивали бы колебания в одной

плоскости, неподвижной в этой системе отсчета. В свою очередь, Земля,

совершая суточное вращение, поворачивалась бы относительно плоскости

качания маятника против часовой стрелки.

Наблюдатель, находящийся на Земле (в неинерциальной системе отсчета)

и вращающийся вместе с ней, видит, что плоскость качаний маятника Фуко

медленно поворачивается относительно земной поверхности в сторону, противоположную направлению вращения Земли. Этим опытом наглядно подтверждается факт суточного вращения Земли.

В неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, уравнение движения маятника имеет вид:

. (3.13)

Поскольку сила и сила натяжения нити лежат в плоскости качаний маятника, то они не могут привести к её вращению. Поэтому, очевидно, вращение плоскости колебаний обусловлено действием кориолисовой силы инерции, причем скорость систематического вращения плоскости колебаний определяется лишь вертикальной (см. рисунок) составляющей угловой скорости вращения Земли. Сила Кориолиса, обусловленная горизонтальной составляющей (см. рисунок) этой скорости , не приводит к систематическому вращению плоскости качаний маятника Фуко, а, меняя свое направление в течение одного периода качаний, вызывает лишь малые колебания плоскости качаний маятника относительно её среднего положения. Т.о., уравнение движения маятника Фуко в системе отсчета, связанной с Землей может быть записано в виде:

, (3.13а) где вертикальная составляющая угловой скорости собственного вращения Земли, зависящая от географической широты места, т.е.

, (3.14)

угловая скорость вращения Земли (угловая частота).

Реальные опыты Фуко впервые продемонстрировал в 1850 г. в Парижской обсерватории и затем в 1851 г. в Пантеоне. Маятник имел длину , а вес груза – металлического шара – составлял .

Находившийся в Исаакиевском соборе Ленинграда маятник Фуко, имел длину , а его наибольшее отклонение от положения равновесия составляло .

Опыты показали, что относительно Земли плоскость качаний маятника вращается вокруг вертикали рассматриваемого места в соответствии с формулой (3.14), или

,

где время одного оборота плоскости качаний маятника, а период собственного вращения Земли относительно инерциальной системы отсчета (системы Коперника).

Если маятник отклонен в крайнее положение и отпущен безначальной скорости, то в неинерциальной системе отсчета, связанной с Землей, он будет двигаться по траектории, изображенной на рисунке слева. Сила Кориолиса все время будет изгибать траекторию маятника вправо (если смотреть в направлении движения маятника).

Несколько иная траектория получится, если маятник приведен в движения толчком из положения равновесия (правый рисунок). Траектория, по-прежнему, будет искривляться вправо, однако в крайних положениях она будет совершать плавные повороты, поскольку маятник при движении от центра приобретет под действием кориолисовой силы азимутальную скорость.

Отметим, что вследствие медленности вращения Земли наблюдатель не замечает искривления плоскости качания маятника. В обоих случаях ему кажется, что плоскость качаний вращается вокруг вертикали с угловой скоростью .

В Южном полушарии вращение плоскости качаний маятника Фуко будет происходить в сторону, противоположную, наблюдаемой в Северном полушарии. На экваторе ( ) скорость вращения плоскости качаний маятника Фуко, как следует из (3.13а и 3.14) обращается в нуль.

Заметим, что результат опыта Фуко находится в согласии с предположением об инерциальности гелиоцентрической системы отсчета.

Размывы берегов рек.

Размывы правых берегов рек в северном полушарии и левых

берегов рек, текущих в южном полушарии, связаны с поступательным

движением воды относительно поверхности Земли и могут быть

объяснены действием сил Кориолиса (см. рисунок).

3.4. Инертная и гравитационная массы. Принцип эквивалентности.

4.1. Инертная и гравитационная массы.

Понятие «масса» было введено в механику Ньютоном для обозначения коэффициента пропорциональности между импульсом и скоростью свободного движения тела в определении импульса

, (4.1)

где постоянная для данного тела величина. Эквивалентное определение массы получается из уравнения движения классической механики – второго закона Ньютона

. (4.2)

Определенная таким образом величина является мерой инерции тела, т.к. под действием постоянной силы тело приобретает тем меньшее ускорение, чем больше его масса, и называется инерциальной или инертной массой.

Однако тела обладают не только свойствами инерции, но и способностью возбуждать в окружающем пространстве гравитационные поля (по аналогии с электрическими полями и создающими их электрическими зарядами в теории гравитации Ньютона масса выступает как источник тяготения).

Каждое тело создает поле тяготения, пропорциональное его гравитационной массе, и, в то же время, испытывает на себе воздействие поля тяготения, создаваемого другими телами, сила которого также пропорциональна его массе. Если обозначить гравитационные массы взаимодействующих тел (точечных) посредством и , то сила гравитационного взаимодействия определяется законом Ньютона:

. (4.3)

Здесь численный коэффициент для согласования системы единиц.

Важно подчеркнуть, что инерция тел и их способность возбуждать гравитационные поля не должны рассматриваться как взаимосвязанные или, тем более, тождественные свойства. В принципе, задавая расстояние и силу в известных единицах, можно коэффициенту приписать произвольные значения и размерность, соответственно устанавливая единицы измерения гравитационной массы .

Рассматривая движение тела в поле силы тяжести Земли, можем записать

, (4.4)

где масса Земли и ее радиус.

Физический закон, установленный Ньютоном гласит: сила гравитационного взаимодействия тел пропорциональна их инертным массам. Отсюда следует, что инертная масса тела пропорциональна его гравитационной массе.

Действительно, если тело имеет инертную массу , то под действием этой силы тяжести тело, согласно 2-му закону Ньютона, приобретает ускорение:

(4.5)

Если единицы измерения гравитационной массы выбрать такими же, как и для инертной массы, то можно положить для любого тела

Это фундаментальный физический закон - закон эквивалентности инертной и гравитационной масс.

Галилей экспериментально установил, что все тела у поверхности Земли имеют одинаковое ускорение.

Если положить

Тогда

.

Таким образом, обобщенный закон Галилея: все тела при свободном падении в одном и том же гравитационном поле приобретают одинаковое ускорение (мы уже им пользовались в предыдущем параграфе), по своему содержанию полностью соответствует принципу эквивалентности инертной и гравитационной масс.