Задание – 1
Произвести расчет провода определенной марки, известной площади поперечного сечения, подвешенной на воздушной трехфазной линии электропередач.
Рисунок. Схема участка ЛЭП
Исходные данные к задаче:
II ветровой район,
q = 400 Па – скоростной напор ветра,
Марка провода – АС,
А = 24 м2 – площадь поперечного сечения провода,
d = 21,6 м – расчетный диаметр провода,
qп = 9,97 Н/м – расчетный вес провода,
l = 240 м – пролет между опорами.
tcp.= 10 0C – среднегодовая температура,
tmin = -20 0C – минимальная годовая температура,
tmax = 30 0C – максимальная годовая температура,
Е = 8,45 Па – модуль упругости провода,
12,2 Па – допускаемое напряжение,
18,9 – коэффициент линейного расширения провода.
I снеговой район,
5 м – толщина стенки гололеда,
Решение:
1. Определение удельных приведенных нагрузок при различных режимах работы
1.1. I расчетный режим: провода и тросы покрыты гололедом, t=-5 0C, скоростной напор ветра 0,25q.
Определим вес 1 п.м. гололеда по формуле:
где - объемный вес льда, тогда
5 (21,6+5) = 3,759 Н/м,
Давление ветра на 1 м провода, покрытого гололедом, определим по формуле:
,
где - коэффициент, учитывающий неравномерность ветра,
К = 1,2 – коэффициент лобового сопротивления, тогда
400 (21,6 + 2 . 5) = 3,192 Н/м.
Суммарную интенсивность нагрузки на гибкую нить определим по формуле:
14,095 Н/м.
Удельную нагрузку определим по формуле: , тогда
.
1.2. II расчетный режим: провода и тросы покрыты гололедом, t=-5 0C, ветра нет.
Проводя вычисления, аналогичные п. 1.1. и учитывая, что ветровая нагрузка отсутствует (qв2 = 0), получим:
3,759 Н/м,
13,729 Н/м,
.
1.3. III расчетный режим: скоростной напор ветра q, t=-5 0C.
Гололеда нет (qл = 0). Ветровую нагрузку тогда определим по формуле:
где , тогда
400 21,6 = 8,813 Н/м.
Н/м,
.
1.4. IV-VII расчетные режимы имеют одинаковую интенсивность нагрузки, ветра и гололеда нет.
9,97 Н/м, тогда .
2. Расчет напряжений в проводах
Определим критическую длину пролета по формуле:
,
где - температура обледенения,
- максимальная удельная нагрузка, соответствующая температуре обледенения (I режим),
- минимальная удельная нагрузка, соответствующая максимальной годовой температуре (VI режим).
м.
l = 240 м < 242,2 м, следовательно, за базовый режим выбираем VI с минимальной годовой температурой. Принимаем = 12,2 Па= = 1,22 Па. Для определения напряжений в других режимах применим уравнение состояния нити [2, стр. 30]:
Для 7 режима: или
Или после преобразований: –0,186 –3,5 .
Для решения данного кубического уравнения воспользуемся известными математическими программами, основанными на методе Ньютона или формуле Кардано [3]. Т.к. кубическое уравнение - это уравнение третьей степени, то оно имеет три решения: .
Для данного уравнения получаем следующие решения:
1,583 Па, остальные 2 корня имеют мнимую составляющую (i), поэтому их не рассматриваем. Окончательно принимаем 1,583 Па.
Аналогично для остальных режимов, составляя и решая уравнения состояния нити, получим следующие значения напряжений:
Для 1 режима: или
Или после преобразований: –1,544 –6,995 ,
откуда 1,965 Па.
Для 2 режима: после преобразований: –0,75 –6,636 ,
откуда 2,165 Па.
Для 3 режима: –0,744 –6,234 , откуда 2,125 Па.
Для 4 режима: –0,562 –3,5 , откуда 1,73 Па.
Для 5 режима: –0,905 –3,5 , откуда 1,887 Па.
3. Расчет стрелы провисания
Произведем по формуле: , где i = 1,2,3…7 – номер режима.
Тогда для 1 режима: м. Аналогично для остальных режимов: м,
1,88 м, 1,73 м, 1,59 м, 2,45 м, 1,89 м.
В данном варианте f6 = 2,45 м.
4. Подбор высоты опоры
Высота опоры над землей определяется из условия:
Тогда в нашем случае: 2,45+5,5 = 7,95 м. Принимаем h = 8 м.
Задание-2
Для заданной схемы балки определить опорные реакции, написать выражения Q и М для каждого участка в общем виде, построить эпюры Q и М, найти Мmаx и подобрать: стальную балку двутаврового поперечного сечения и сечения, составленного из двух швеллеров при [σ] = 160 МПа.
Дано: Схема № 20; а = 1 м, М = 20 кНм, М1 = 15 кНм,
Р = 10 кН, Р1 = 20 кН, q = 20 kH/м, q1 = 15 kH/м.
Решение:
1. Для построения эпюр Q и М необходимо определить опорные реакции из уравнений статики:
10 . 0,25 – 15 . 4 . 2 – 20 +5 . 4,33 + RB.4 = 0, RВ = 28,96 kH,
5 . 0,33 + 15 . 8 – 20 + 10 . 4,25 - RA . 4 = 0, RА = 36,04 kH,
Проверка: -10 + 36,04 – 60 + 28,96 + 5 = 0.
Разбивая балку на грузовые участки, проводя сечение и отбрасывая более сложную часть, составим уравнения равновесия поперечных сил Q и изгибающих моментов М для участков.
Участок I 0,25 м
-10 = 0
-10 кН = const.
; +10х1 = 0
= -10 х1
Участок II 0,25 2,25 м
-10+36,04-15(х2-0,25) = 0
26,04-15(х2-0,25)
; +15(х2-0,25)2/2+10х2-36,04(х2-0,25) = 0
= 36,04(х2-0,25)- 10х2-7,5(х2-0,25)2
Участок III 0 0,33 м
+5 = 0
-5 = const.
; -5х3 = 0
= 5х3
По полученным значениям строим эпюры внутренних силовых факторов Q и М (см. рисунок).
2. Подбор размеров поперечного сечения двутавровой балки. Условие прочности при изгибе запишем: , где
– максимальный изгибающий момент, возникающий в балке,
Wх – момент сопротивления поперечного сечения балки.
Тогда .
– сечение, составленное из 2-х швеллеров: 123,5 см3. По сортаменту швеллеров (ГОСТ 8240-89) принимаем швеллер № 18а с = 132 см3 и А[ = 22,2 см2. Тогда общая площадь А = 2А[ = 44,4 см2.
– двутавровое сечение: . По сортаменту двутавров (ГОСТ 8239-89) принимаем двутавр № 22а с = 254 см3; А = 32,8 см2;
Сравнивая площади подобранных сечений, приходим к выводу, что наиболее выгодным по расходу материала является двутавровое сечение с минимальной площадью.
Задание 3
Определить диаметры валов сплошного и полого с отношением внутреннего диаметра к наружного . Установить разницу в расходе материала, проверить жесткость валов. Построить эпюру углов закручивания для рационального сечения, эпюру касательных напряжений для сечений, удовлетворяющих условиям прочности и жесткости.
Дано: n = 500 об/мин, Р1 = 90 кВт, Р2 = 80 кВт, Р3 = 60 кВт, Р4 = 50 кВт,
а = 0,1 м, с = 0,3 м, , , .
= 0,75, 2.
Решение
1. Определим величины внешних вращающих моментов по формуле:
М =
кНм,
кНм, аналогично
М3 = 1,15 кНм, М4 = 0,96 кНм.
При равномерном вращении вала алгебраическая сумма внешних моментов равна нулю: М2 + М3 – М1 – М5 – М4 = 0, тогда М5 = 0.
По этим значениям строим эпюру крутящих моментов Мкр. (см. чертеж).
2. Определим диаметр круглого вала из условий прочности при кручении:
90 МПа, где
- полярный момент сопротивления поперечного сечения вала (круга). Тогда . Отсюда найдем диаметр вала: м = 46 мм.
Принимаем по ГОСТ 2590-71 d = 46 мм.
Кольцевого поперечного сечения: , где 0,75, тогда м = 52 мм.
Принимаем по ГОСТ 2590-71 dн = 53 мм, тогда dв = 40 мм.
3. Определим диаметр круглого вала из условий жесткости при кручении.
Условие жесткости при кручении имеет вид:
где
- угол закручивания на один погонный метр,
- максимальный крутящий момент,
- жёсткость при кручении ( ),
- допускаемый угол закручивания на 1 п.м., .
Для сплошного вала: ,
Тогда найдем диаметр вала из условия жёсткости:
отсюда м = 71 мм.
Принимаем по ГОСТ 2590-71 d = 75 мм.
Для пустотелого вала: . Найдем диаметр вала из условия жёсткости: отсюда
м = 78 мм.
Принимаем по ГОСТ 2590-71 dн = 80 мм, тогда dв = 60 мм.
Для обеспечения прочности и жесткости вала принимаем сечения большего диаметра: d = 75 мм. Для пустотелого вала: dн = 80 мм, dв = 60 мм. Площади поперечного сечения данных валов будут равны соответственно:
мм2,
мм2.
Окончательно принимаем вал кольцевого поперечного сечения с минимальной площадью, что выгоднее с точки зрения расхода материала при одинаковой нагрузке.
4. Построим эпюру углов закручивания. Для этого определим углы поворота сечений относительно начало отсчета, за которое примем крайнюю левую точку вала – А.
Жесткость вала: = Нм2
Угол поворота сечения В относительно сечения А равен
рад;
рад;
рад,
рад.
По полученным данным строим эпюру углов закручивания φ (см. чертеж).
5. Построим эпюры распределения касательных напряжений для сечений, удовлетворяющим условиям прочности и жесткости.
Круглое поперечное сечение: d = 75 мм.
= (75 м)3 = 0,084 м3
МПа.
Кольцевое поперечное сечение: dн = 80 мм, 0,75
(80 м)3 = 0,070 м3
МПа.
(80 м)4 = 2,8 м3
МПа.
Рисунок. Эпюры распределения касательных напряжений
Задание 4.
Стержень указанного материала длиной l сжимается силой F. Требуется: 1) найти размеры поперечного сечения при допускаемом напряжении на простое сжатие, 2) найти значение критической силы и коэффициент запаса устойчивости.
ДАНО: Стержень длиной 3 м,
100 кН,
μ = 0,7
Материал стойки сталь марки Ст3.
Расчетное сопротивление стали МПа,
Предельное значение гибкости .
Решение:
1. Определение геометрических характеристик сечения стержня.
Сечение разбиваем на два элемента: первый элемент – прямоугольник с размерами ; второй элемент – вырезанный прямоугольник с размерами .
Суммарная площадь составного сечения равна:
.
Находим минимальный осевой момент инерции заданного поперечного сечения стержня: .
Определяем величину минимального радиуса инерции сечения:
.
2. Определение размеров поперечного сечения стержня методом последовательных приближений.
Условие устойчивости сжатого стержня:
Задаемся начальным приближением коэффициента продольного изгиба . Тогда из условия устойчивости определяем требуемую площадь поперечного сечения стержня: см2.
Учитывая ранее полученные выражения для величин и , имеем:
см; см.
Вычисляем гибкость стержня по формуле:
где коэффициент приведенной длины, выбираемый в зависимости от условий закрепления концов стержня.
По таблице с помощью линейной интерполяции находим значение коэффициента продольного изгиба соответствующее вычисленному значению гибкости :
Полученное значение коэффициента отличается от ранее принятого, следовательно, необходимо выполнить следующее приближение.
Второе приближение. Задаемся новым значением коэффициента продольного изгиба: . см2.
см; см,
Третье приближение. .
см2, 4,39 см;
см,
Находим значение расчетных напряжений в сечении сжатого стержня:
МПа > МПа.
, что допустимо.
3. Определение величины критической силы:
Расчетная гибкость стойки (предельное значение гибкости), следовательно, при определении критических напряжений необходимо использовать формулу
Эйлера : МПа
108,01 16,19 = 174 КН.
Коэффициент запаса устойчивости: .
Литература:
1. Методические указания по сопротивлению материалов для студентов спец. 310900 - «Землеустройство», 311000 - «Земельный кадастр», 311400 – «Электрификация и автоматизация с/х процессов», КубГАУ, Краснодар, 2005.
2. Бредихин Б.А. Сопротивление материалов. Краснодар, КГАУ, 2006 г.
3. http://cubic-solver.info/calc.php - программа для решения кубических уравнений.
4. Александров А.В. Сопротивление материалов.
5. Писаренко. Справочник по сопротивлению материалов.