Пример решения задачи 1

Однородная прямоугольная плита весом Р закреплена сферическим шарниром в точке А, цилиндрическим – в точке Д и невесомым шарнирным стержнем СС₁, расположенным в плоскости, параллельной ZХ. К плите приложена сила в плоскости YZ и пара сил в плоскости XY с моментом M. Точка приложения силы, направление силы, линейные размеры плиты показаны на схеме. Определить реакции связей в точках A,C,Д.

Дано: P=2 кН, F=10 кН, M=3 кНм, α=30^º, а=0,5 м.

Определить: реакции в точках А,С,Д.

Рис. 1

Решение

1. Изобразим схему плиты с опорами и действующие на нее силы в соответствии с условием задачи (Рис. 1).

2. Для определения реакций в точках А, С, Д рассмотрим равновесие плиты АВСД.

3. Покажем на схеме реакции связей. Реакцию неподвижного сферического шарнира представим в виде трех составляющих ,, , реакцию цилиндрического шарнира – двумя составляющими , реакцию невесомого стержня направим по линии стержня.

Разложим силы и на составляющие, параллельные осям.

=cosα +sinα; = cos30º+ sin30º

4. Составим шесть уравнений равновесия полученной системы сил.

1. Σ F_кх =0; X_A + R_csin30º+ X_Д=0

2. Σ F_ky=0; Y_A- Fcosα α=0

3. Σ F_kz=0; Z_A+ Fsinα+ R_ccos30º+Z_Д- P=0

4. Σ M_x(F_k)=0; R_ccos30º*3a+ Z_Д*3a- P*1,5a=0

5. Σ M_y(F_k)=0; -Fsinα*a- R_ccos30º*2a+ P*a=0

6. Σ M_z(F_k)=0; -Fcosα*a- R_csin30º*3а-X_Д*3а+М=0

Решим полученную систему уравнений.

Из уравнения 2:

Y_А=Fcosα=10*cos30º=8,66 кН

Из уравнения 5:

R_с=

Из уравнения 6:

Из уравнения 1:

X_A = -R_csin30º-X₂ = -1,73*sin30º+1,75=0,9 кН

Из уравнения 4:

Z_Д =

Из уравнения 3:

Z_A= -Fsinα-R_ccos30º-Z_Д+P= -10*sin30º-1,73cos30º+2= -1,5 кН

Ответ: X_A=0,9 кН, Y_A=8,66 кН, Z_A=1,5 кН

X_Д= -1,75 кН, Z_Д=0 кН, R_c= -1,73 кН

Знаки минус указывают, что реакции , , направлены противоположно принятому на схеме.

Пример 2. Стержень АВ в точке С опирается на стержень СD (рис. 2).

Определить реакции в точках А, С, Е и D, если Р = 200 Н, F = 400 H,АС =СВ =в =3 м, СЕ = ЕК = КD = a = 2 м, М=300 Нм.

Решение.

На составную конструкцию действуют активные силы Р и Q, пара сил с моментом М, а также подлежащие определению шесть реакций Х_А, У_А, Х_D, Y_D, N_E, и N_C., при этом N_C = - N_C1.

Покажем на чертеже направления всех реакций как внешних, так и внутренних, и составим уравнения равновесия для всей конструкции (рис. 3).

.

. (1)

В эти три уравнения входят пять неизвестных реакций Х_А, У_А, Х_D, Y_D, N_E.

Сделаем чертежи и рассмотрим равновесие каждого тела.

Выбираем оси координат и составляем уравнения равновесия для стержня АВ (рис.4).

(2)

В систему уравнений (2) входят три неизвестные реакции: Х_А, У_А и N _C , и мы можем однозначно определить их значения. Выбираем оси координат и составляем уравнения равновесия для стержня СD (рис.5).

.

(3)

.

Из этих уравнений определяются последние три неизвестные реакции ХD, YD, NE .

Таким образом, для конструкции, состоящей из двух твердых тел, можно составить девять уравнений равновесия. Для данной задачи оптимальными являются уравнения (2) и (3), из которых находятся все внешние и внутренние реакции.

С₁ на расстоянии: СС₁ = 0, 4 см.