Введение

Настоящее пособие имеет своей задачей оказать помощь студентам дневного и заочного отделений инженерно-технических специальностей в изучении курса физики.

Физика является наукой о наиболее общих законах природы, о наиболее общих формах движения материи. Занимая центральное место среди других наук в объяснении законов природы, физика имеет первостепенное значение в формировании научного мировоззрения.

Систематическое решение задач является необходимым условием успешного изучения физики. Решение задач помогает уяснить физический смысл явлений, закрепляет в памяти формулы, прививает навыки практического применения теоретических знаний.

При решении задач необходимо:

Указать основные законы и формулы, на которых базируется решение задачи, дать словесную формулировку этих законов, а также указать значение буквенных обозначений, употребленных при написании формул. Не следует пользоваться формулами, полученными для частного случая и не выражающими какой-либо закон.

Физические задачи весьма разнообразны и дать единый рецепт их решения невозможно. Однако, как правило, физические задачи следует решать в общем виде, т.е. в буквенных выражениях. При этом способе не производятся вычисления промежуточных величин; числовые значения подставляются только в окончательную (рабочую) формулу, выражающую искомую величину.

1. Сделать чертеж, поясняющий содержание задачи, если необходимо.

2. Сопровождать решение задачи краткими, но исчерпывающими пояснениями.

3. Подставить в окончательную формулу числовые значения, выраженные в единицах СИ. Несоблюдение этого правила приводит к неверному результату.

4. Проверить, даст ли рабочая формула правильную размерность величины. Для этого в рабочую формулу следует подставить размерность всех величин и произвести необходимые действия. Если полученная таким путем размерность не совпадает с размерностью искомой величины, то задача решена неверно.

5. Произвести вычисление величин, подставленных в формулу и записать в ответе числовое значение и сокращенное наименование или размерность единицы измерения искомой величины. Вычисления следует производить приближенно.

Пример решения задач

Пример. Через блок, выполненный в виде диска и имеющий массу m=80 г, перекинута тонкая гибкая нить, к концам которой подвешены грузы с массами m₁=100 г. и m₂=200 г. С каким ускорением будут двигаться грузы, если их предоставить самим себе? Трением пренебречь.

Решение. 1-ый способ. Применим к решению задачи основные законы поступательного и вращательного движения. Для этого рассмотрим силы действующие на грузы в отдельности и на блок. На каждый из движущихся грузов действует две силы: сила тяжести P=mg, направленная вниз, и сила натяжения нити Т, направленная вверх (рис.1,а). Спроектируем эти силы на ось х, которую направим вертикально вниз, и напишем уравнение движения в координатной форме.

r



m

m₁

m₂

x

Груз m₁ поднимается вверх, следовательно, Т₁>m₁g. По второму закону Ньютона равнодействующая этих сил, равная их разности, прямо пропорциональна массе груза и ускорению, с которым он движется, т.е.:

-Т₁ + m₁g = -m₁a (1)

откуда

T₁= m₁g + m₁a (2)

Груз m₂ ускоренно опускается вниз, следовательно, T₂<m₂g. Запишем формулу второго закона Ньютона для этого груза:

m₂g -T₂ = m₂a (3)

откуда

T₂ = m₂g - m₂a (4)

Cогласно основному закону динамики вращательного движения, вращательный момент М, приложенный к диску, равен произведению момента инерции I диска на его угловое ускорение :

M = I (5)

Определим вращающий момент. Силы натяжения нитей действуют не только на грузы, но и на диск. по третьему закону Ньютона силы Т₁' и Т₂', приложенные к ободу диска, по величине равны соответственно силам Т₁ и Т₂, но по направлению им противоположны. При движении грузов диск ускоренно вращается по часовой стрелке, следовательно, Т₂'>T₁'. Вращающий момент, приложенный к диску, равен произведению разности этих сил на плечо, равное радиусу диска, т.е.:

M = (T₂'-T₁')r (6)

Момент инерции диска:

I=mr²/2 (7)

Угловое ускорение связано с линейным ускорением грузов соотношением:

 = a/r (8)

Подставив в формулу (5) выражения M, I и , получим:

(Т₂'-T₁')r = (mr²/2)(a/r) (9)

откуда

T₂' -T₁' = ma/2 (10)

Так как Т₁'=T₁ и Т₂'=T₂, то можно заменить силы T₁' и Т₂' выражениями по формулам (2) и (4), тогда:

m₂g -m₂a -m₁g -m₁a = ma/2 (11)

или

(m₂ -m₁)g=(m₂+m₁+m/2)a (12)

откуда

a = (m₂ -m₁)g/(m₂+m₁+m/2) (13)

Отношение масс в правой части формулы (13) есть величина безразмерная. Поэтому числовое значение масс m₁, m₂, m можно взять в граммах, как они даны в условии задачи. Числовое значение ускорения g надо взять в единицах СИ. После подстановки получим:

а = (200 -100)9,8/(200+100+80/2) = 2,88 м/с².

2-ой способ. Применим к решению задачи закон сохранения энергии, согласно которому при отсутствии трения полная энергия изолированной системы тел остается неизменной во время движения этих тел: энергия при этом может только превращаться из потенциальной в кинетическую или наоборот. Напомним, что в механике полной энергией тела называется сумма его потенциальной и кинетической энергий.

Положим, что в начальный момент движения потенциальная энергия первого груза была равна П₁, второго П₂. Через некоторое время высота первого груза увеличилась на h, второго уменьшилась на h (рис.1,б). Потенциальная энергия первого груза стала равна (П₁+m₁gh), второго (П₁-m₂gh). Кроме того, каждый из грузов, двигаясь с ускорением а, приобрел за это время скорость v и кинетическую энергию, равную соответственно:

m₁v²/2 и m₂v²/2. (14)

Точно так же диск, вращаясь равноускоренно, приобрел угловую скорость  и соответствующую ей кинетическую энергию:

E_k=I²/2 (15)

Преобразуем выражение кинетической энергии диска. Так как:

I=mr²/2 и =v/r (16)

то

I²/2=1/2(mr²/2)(v²/r²)=mv²/4 (17)

По закону сохранения энергии:

П₁+П₂ = (П₁+m₁gh) +(П₂-m₂gh) +m₁v²/2+m₂v²/2+mv²/4 (18)

Перенесем члены соответствующие потенциальной энергии грузов, из правой части равенства в левую. После очевидных преобразований получим:

(m₂ -m₁)gh = (m₂+m₁+m/2)(v²/2) (19)

Так как грузы двигались равноускоренно, то:

v² =2gh (20)

Следовательно:

(m₂ -m₁)g =(m₂+m₁+m/2)a (21)

откуда

a = (m₂ -m₁)g/(m₂+m₁+m/2) (22)

т.е. получен результат, совпадающий с выражением (13).

r

T₁'

T₁

r

r

T₁'

m

T₂'

m₁g

T₂

m₁

m₂

m₂g

.

r

m

T₁'

T₂'

T₁

T₂

m₁g

m₂

m₁

х

m₂g

Контрольная работа № 1.

Вариант	Номера задач
0	2	8	16	22	30	32	36	44	46
1	5	10	19	25	28	31	38	42	48
2	1	13	17	23	26	33	37	43	50
3	3	15	20	24	28	34	40	41	47
4	4	7	18	21	29	35	39	45	49
5	5	12	19	24	27	31	37	44	50
6	2	9	16	22	30	32	36	41	46
7	3	6	18	25	29	33	38	42	48
8	1	11	17	21	26	34	40	45	47
9	4	14	20	23	27	35	39	43	49

1. Зависимость пройденного телом пути от времени задается уравнением s = A + Bt + Ct² + Dt³ (C = 0,1 м/с², D = 0,03 м/с³). Определить: 1) через какое время после начала движения ускорение тела будет равно 2 м/с²; 2) среднее ускорение тела за этот промежуток времени.

2. Тело, двигаясь с постоянным ускорением, потеряло 2/3 своей начальной скорости. Найти время, за которое это произошло, и путь, пройденный телом за это время.

3. Материальная точка, двигаясь с постоянным ускорением, проходит расстояние 24 м за 2 с, а следующие 24 м - за 4 с. Найти скорость точки в начале и в конце пути, а также ускорение точки.

4. С крыши дома высотой 28 м брошен вверх камень со скоростью 8 м/с. Определить скорость падения камня на землю.

5. Мяч брошен со скоростью 10 м/с под углом 40^о к горизонту. На какую высоту поднимется мяч? На каком расстоянии от места бросания он упадет на землю? Какое время он будет в движении?

6. Тело, брошенное с башни в горизонтальном направлении со скоростью  = 20 м/с, упало на землю на расстоянии s (от основания башни), вдвое больше высоты h башни. Найти высоту башни.

7. Колесо радиуса R = 0,1 м вращается так, что зависимость угловой скорости от времени задается уравнением  = 2At + 5Bt⁴ (А = 2 рад/с² и В = 1 рад/с⁵). Определить полное ускорение точек обода колеса через t =1с после начала вращения и число оборотов, сделанных колесом за это время.

8. Маховик начал вращаться равноускоренно и за промежуток времени 10 с достиг частоты вращения 300 об/мин. Определить угловое ускорение маховика и число оборотов, которое он сделал за это время.

9. Вентилятор вращается с частотой 900 об/мин. После выключения вентилятор, вращаясь равнозамедленно, сделал до остановки N = 75 об. Какое время прошло с момента выключения вентилятора до полной его остановки?

10. Найти радиус вращающегося колеса, если известно, что линейная скорость точки, лежащей на ободе, в 2,5 раза больше линейной скорости точки, лежащей на 5 см ближе к оси колеса.

11. Чему равна линейная скорость на ободе турбины диаметром 9 м, если частота вращения 1,2 Гц? На каком расстоянии от оси линейная скорость равна 15 м/с?

12. Колесо вращается с угловым ускорением 2 рад/с². Через время t = 0,5 с после начала движения полное ускорение колеса а = 13,6 см/с². Найти радиус колеса.

13. Канат лежит на столе так, что часть его свешивается со стола, и начинает скользить тогда, когда длина свешивающейся части составляет 1/4 его длины. Найти коэффициент трения каната о стол.

14. К концам нити, перекинутой через блок, подвешены два тела массами 200 г и 150 г. Определить, за какое время тела пройдут расстояние 1 м.

15. Тело весом 20 Н скользит по горизонтальной поверхности под действием груза весом 5 Н, прикрепленного к концу шнура, привязанного к телу и перекинутого через неподвижный блок. С каким ускорением движется тело и какова сила натяжения шнура? Коэффициент трения равен 0,1.

16. На наклонной плоскости находится тело весом Р = 500 Н, на которое действует горизонтально направленная сила F = 300 Н. Определить ускорение тела и силу, с которой оно давит на плоскость. Наклонная плоскость составляет с горизонтом угол 30^о. Трение не учитывать.

17. Наклонная плоскость, образующая угол 25^о с плоскостью горизонта, имеет длину 2 м. Тело, двигаясь равноускоренно, соскользнуло с этой плоскости за время 2 с. Определить коэффициент трения о плоскость.

18. Блок укреплен на вершине двух наклонных плоскостей, составляющих с горизонтом углы 30^о и 45^о. Гири равной массы (m = 2 кг) соединены нитью, перекинутой через блок. Блок и нити невесомы. Коэффициенты трения гирь о плоскость f = 0,1. Определить ускорение, с которым движутся гири и силу натяжения нити.

19. Пуля массой m = 10 г, летевшая горизонтально со скоростью  = 500 м/с, попадает в баллистический маятник длиной l = 1 м и массой M = 5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника.

20. Шар массой 200 г, движущийся со скоростью 10 м/с, ударяет неподвижный шар массой 800 г. Удар прямой, абсолютной упругий. Каковы будут скорости шаров после удара?

21. Два груза массами m = 10 кг и M = 15 кг подвешены на нитях длиной l = 2 м так, что грузы соприкасаются между собой. Меньший груз был отклонен на угол 60^о и отпущен. На какую высоту h поднимутся оба груза после неупругого удара? Какое количество теплоты при этом выделится?

22. Шар массой 2 кг, движущийся со скоростью 1,2 м/с, налетает на покоящийся шар массой 1,5 кг. Вычислить скорости шаров после упругого взаимодействия.

23. Камень массой 500 г, брошенный под углом к горизонтальной плоскости, через 4 секунды упал на нее обратно на расстоянии 16 м. Найти работу бросания.

24. При подъеме груза массой 2 кг на высоту 1 м сила F совершает работу 78,5 Дж. С каким ускорением поднимается груз?

25. Шар массой 3 кг движется со скоростью 4 м/с и ударяется о неподвижный шар такой же массы. Считая удар центральным и абсолютно неупругим, найти количество теплоты, выделившееся при ударе.

26. Горизонтальная платформа массой 120 кг вращается с частотой 6 об/мин. Человек массой 80 кг стоит на краю платформы. С какой частотой начнет вращаться платформа, если человек перейдет в ее центр? Платформу принять за однородный диск.

27. Диск массой 5 кг вращается с частотой 5 Гц. Определить работу, которую надо совершить, чтобы частота вращения увеличилась в 3 раза. Радиус диска равен 20 см.

28. На барабан массой М = 9 кг намотан шнур, к концу которого привязан груз массой m = 2 кг. Найти ускорение груза. Барабан считать однородным цилиндром.

29. Вал в виде сплошного цилиндра массой 10 кг насажен на горизонтальную ось. На цилиндр намотан шнур, к свободному концу которого подвешена гиря массой 2 кг. С каким ускорением будет опускаться гиря, если ее предоставить самой себе?

30. К ободу однородного сплошного диска радиусом R = 0,5 м приложена постоянная касательная сила F = 100 Н. При вращении диска на него действует момент сил трения М = 2 Нм. Определить массу m диска, если известно, что его угловое ускорение постоянно и равно 12 рад/с².

31. Через какое время от начала движения точка, совершающая гармоническое колебание, сместится от положения равновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с, начальная фаза равна нулю.

32. Диск радиусом 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить приведенную длину и период колебаний такого маятника.

33. Начальная фаза гармонического колебания равна нулю. Через какую долю периода скорость точки будет равна половине ее максимальной скорости?

34. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса?

35. Амплитуда гармонических колебаний материальной точки 2 см, полная энергия колебаний 0,3 мкДж. При каком смещении от положения равновесия на колеблющуюся точку действует сила 22,5 мкДж?

36. Максимальная скорость колебаний точки равна 10 м/с, амплитуда колебаний - 2 мм. Определить максимальное ускорение точки.

37. На железнодорожной платформе установлено орудие. Масса платформы с орудием 15 т. Орудие стреляет вверх под углом 60^о к горизонту в направлении пути. С какой скоростью покатится платформа вследствие отдачи, если масса снаряда 20 кг и он вылетает со скоростью 600 м/с?

38. Грузик, привязанный к шнуру длиной 50 см, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Какой угол образует шнур с вертикалью, если частота вращения 1 с^-1?

39. Автомобиль идет по закруглению шоссе, радиус кривизны которого равен 200 м. Коэффициент трения колес о покрытие дороги равен 0,1. При какой скорости автомобиля начнется его занос?

40. Грузик, привязанный к нити длиной 1 м, описывает окружность в горизонтальной плоскости. Определить период обращения, если нить наклонена на угол 60^о от вертикали.

41. Два неупругих шара массами 2 кг и 3 кг движутся со скоростями соответственно 8 м/с и 4 м/с. Определить увеличение внутренней энергии шаров при их столкновении в двух случаях: меньший шар нагоняет больший; шары движутся навстречу друг другу.

42. Из двух соударяющихся абсолютно упругих шаров большой шар покоится. В результате прямого удара меньший шар потерял 3/4 своей кинетической энергии. Определить отношение масс шаров.

43. Определить момент инерции тонкого однородного стержня длиной 30 см и массой 100 г относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через: его конец; его середину; точку, отстоящую от конца стержня на 1/3 его длины.

44. Найти момент инерции тонкого однородного кольца радиусом 20 см и массой 100 г относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр.

45. Через блок, имеющий форму диска, перекинут шнур. К концам шнура привязали грузики массой 100 г и 110 г. С каким ускорением будут двигаться грузики, если масса блока 400 г?

46. Через неподвижный блок массой 0,2 кг перекинут шнур, к концам которого подвесили грузы массами 0,3 кг и 0,5 кг. Определить силы натяжения шнура по обе стороны блока во время движения грузов, если масса блока равномерно распределена по ободу.

47. Определить жесткость системы двух пружин при последовательном и параллельном их соединении. Жесткость пружин 2 кН/м и 6 кН/м.

48. К стальному стержню длиной 3 м и диаметром 2 см подвешен груз массой 2,510³ кг. Определить напряжение в стержне, относительное и абсолютное удлинение стержня.

49. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленной на подставке, сжимает ее на 2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высоты 5 см?

50. Стальной стержень длиной 2 м и площадью поперечного сечения 2 см² растягивается силой 10 кН. Найти потенциальную энергию растянутого стержня и объемную плотность энергии.