Задача 1.3.

Для дифференцирующего звена, описываемого уравнением вида

(V)

или ПФ

, (VI)

на Рис.4 изображены графики переходной характеристики, АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

а)

б)

в )

Рис.4. а) Переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

Вопросы:

• Как влияет параметр на площадь под кривой переходной характеристики звена? Изобразить график площади под кривой в виде конечного импульса.

, поэтому при возрастании увеличивается площадь под кривой, а при уменьшении , соответственно уменьшается.

• Как изменяется ЛАЧХ при увеличении (уменьшении) параметра в два раза? Привести графики.

П ри увеличении параметра в два раза – ЛАЧХ увеличивается на

Рис. 5. При увеличении параметра в два раза, ЛАЧХ увеличивается на 6 Дб.

П ри уменьшении параметра в два раза – уменьшается на

Рис. 6. При уменьшении параметра в два раза, ЛАЧХ уменьшается на 6 Дб.

• Чему равно значение постоянной времени , если дБ ( =1)?

Из уравнения

.

Задача 1.4.

Для апериодического звена первого порядка, описываемого ДУ вида

(VII)

или ПФ

, (VIII)

на Рис.7 изображены графики переходной характеристики, АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ.

а)

б)

в )

Рис.7. а) Переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

Вопросы:

• Чему равны значения ЛАЧХ и ЛФЧХ : на частоте ; при уменьшении частоты в 10 раз, т. е. ; при увеличении частоты в 10 раз, т. е. ?

, на частоте

, на частоте

• Как отражается на переходной и частотных характеристиках уменьшение (увеличение) постоянной времени раза? Коэффициента передачи в 10 раз? Привести графики, сделать выводы о качественных изменениях.

Графики изменения характеристик при изменении постоянной времени на Рис.8.

w1 – график исходной ПФ;

w2 – график ПФ, с постоянной времени, уменьшенной в 4 раза;

w 3 – график ПФ, с постоянной времени, увеличенной в 4 раза.

а)

б)

в )

Рис.8. а) Переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

При уменьшении постоянной времени в 4 раза, переходная характеристика становится более крутой, т.е. система быстрее реагирует на воздействие; точка изгиба графика ЛАЧХ сдвигается вправо; график ЛФЧХ сдвигается вправо; АФХ не изменяется.

При увеличении постоянной времени в 4 раза, соответственно наоборот.

Г рафики изменения характеристик при изменении коэффициента передачи на Рис.9.

а)

б)

в)

Рис.9. а) Переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу).

При увеличении коэффициента передачи в 10 раз, переходная характеристика стремится к асимптоте y = 10k ; начальная координата y точки начала графика АФХ увеличилась в 10 раз; график ЛАЧХ сдвинулся на 20 единиц верх; график ФЧХ не изменился.

При уменьшении постоянной коэффициента передачи в 10 раз, соответственно наоборот.

• Чему равно максимальное значение постоянной времени , при котором для любой частоты рад/с значение дБ, а значение , если коэффициент передачи ?

Решим систему:

Задача 1.5.

Для неустойчивых апериодических звеньев первого порядка, описываемых ДУ

, (IX)

или ПФ

, (X)

на Рис.10 изображены графики переходной характеристики, АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ и комплексной плоскости корней.

W1 - график ПФ ;

W 2 - график ПФ .

а)

б)

в)

г)

Рис.10. а) Переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу); г) Полюса.

Сравнение характеристики каждого из звеньев с характеристиками устойчивого апериодического звена первого порядка:

• У неустойчивых апериодических звеньев первого порядка переходная характеристика стремится к бесконечности, а не приближается асимптотически к коэффициенту передачи .

• У неустойчивых апериодических звеньев первого порядка АФХ лежит в I и III квадрантах, а у устойчивых апериодических звеньев – во II и IV, но у тех и других звеньев АФХ направлено к 0.

• ЛАЧХ у обоих звеньев совпадает.

Задача 1.6.

Для звена второго порядка, описываемого ДУ вида

(XI)

или ПФ

, (XII)

на Рис.11 изображены графики переходной характеристики, АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ и комплексной плоскости корней.

а)

б)

в )

г )

Рис.11. а) Переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу); г) Полюса.

Провести исследование характеристик звена, состоящее в следующем:

• Проанализировать движение корней (траекторий корней) (ХП) на комплексной плоскости при изменении параметра , привести графики. Построение траекторий корней выполняется следующим образом. Выбирается какое-либо значение параметра и на комплексной плоскости корней наносятся точки, соответствующие корням (ХП). Затем выбирается другое значение параметра и на комплексной плоскости наносятся новые точки, отвечающие (ХП). Это процесс многократно повторяется, в результате чего получается множество точек, принадлежащих траекториям корней. Количество точек должно быть выбрано таким образом, чтобы при их соединении можно было бы получить достаточно плавные непрерывные кривые (траектории) изменения корней. Направленность траекторий принимается от меньших значений к большим.

Движение корней (ХП) на комплексной плоскости показано на Рис.12. Корни движутся справа налево.

Код МАТЛАБа:

figure

hold on

for s = 0:0.01:1

w1 = tf([25],[0.01 2*0.1*s 1]);

pzmap(w1)

end

Движение

корней

Рис.12. Движение корней (ХП) на комплексной плоскости.

• Построить график зависимости резонансного пика АЧХ от коэффициента демпфирования в пределах .

На Рис.13 изображен график зависимости резонансного пика АЧХ от коэффициента демпфирования.

Рис.13. График зависимости резонансного пика АЧХ от коэффициента демпфирования.

• Построить график зависимости резонансной частоты от постоянной времени при выбранном значении .

Пусть

На Рис.14 изображен график зависимости резонансной частоты от постоянной времени при .

Рис.14. График зависимости резонансной частоты от постоянной времени .

• Определить экспериментально оптимальное значение коэффициента демпфирования из условия минимума времени затухания процесса (принять за время, начиная с которого переходная характеристика остается в пределах  5% от установившегося значения). Как располагаются на комплексной плоскости корни ХП при ? Чему равна высота пика ЛАЧХ?

Величина коэффициента демпфирования:

w1= 0.06

w2=0.01

w3=0.1;

w4=0.8

w5=2.8

w6=1

На Рис.15 изображены графики переходных характеристик передаточных функций, с разными коэффициентами демпфирования

Рис.15. Графики переходных характеристик передаточных функций, с разными коэффициентами демпфирования

Экспериментально оптимальное значение коэффициента демпфирования ; высота пика ЛАЧХ равна 0.

Н а Рис.16 изображены графики ЛАЧХ и ЛФЧХ XII при .

Рис.16. ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу);

На Рис.17 изображен график комплексной плоскости корней XII при .

Рис.17. График комплексной плоскости корней XII при .

• Определить переходную и частотные характеристики (АФХ и ЛЧХ) при изменении знака коэффициента демпфирования на , привести графики.

На Рис.16 изображены графики переходной, корневой и ЧХ при изменении знака коэффициента демпфирования на .

а)

б)

в )

г)

Рис.16. а) Переходная характеристика; б) АФХ; в) ЛАЧХ (сверху) и ЛФЧХ (снизу); г) Полюса при изменении знака коэффициента демпфирования.

27