- •220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В.
- •Изучаемые вопросы
- •Задачи для решения в аудитории и на дом
- •Задача для контроля изученного материала
- •Задача для контроля изученного материала
- •220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В.
- •Изучаемые вопросы
- •Задачи для самостоятельного решения в аудитории и на дом
- •Задачи для контроля изученного материала
Задача для контроля изученного материала
|
Формулировка задачи |
1 вариант |
2 вариант |
1 |
Пусть x = (x1, x2, x3). Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора A. |
Ax = (5x1-x2, 6x1+2x2, -3x1+x2- x3) |
Ax = (3x1-4x2+4x3, x1-x2 -x3, -2x3) |
Ответы: 1. =0 , b = t (1, 0, 0), tR/{0} . 2. 1) =1 , b = t (1, 0, 0), tR/{0}; 2) 1 =-1 , b = t (0, -1, 1), tR/{0}; 2= = ; ;3= . 3) 1 =1 , b = t (1, 1, 1), tR/{0}; 1 =0 , b = t (0, 0, 1), tR/{0}; 4) 1 =0 , b = t (1, -1, 1), tR/{0}; 2 =1 , b = t (-1, 0, 1), tR/{0}; 3 =3 , b = t (1, 2, 1), tR/{0}. . 3. 1) =1 , b = t (1, 0), tR/{0}; 1 =3 , b = t (1, 2), tR/{0}; 2) нет. 4. 1) не имеет. 2) =1 , b = t (1, 0), tR/{0}; 1 =0 , b = t (0, 1), tR/{0}; 3) 1 = k , b = t1 (1, 0)+ t2 (0, 1), t1, t2R/{0}. 5. 1) 1 = , 1 = ; 2) =0 , b = t (1, -2), tR/{0}; 1 =7 , b = t (1, 1/3) , tR/{0}; 2) =2 , b = t (1, -3/2), tR/{0}; 1 =7 , b = t (1, 1) , tR/{0}; 4) 1 =1 , b = t (1, 0, 1), tR/{0}; 2 =2 , b = t (1, 0, 0), tR/{0}; 3 =-1 , b = t (0, 1, 1), tR/{0}; 5) 1 =-1 , b = t (1, 0, 0), tR/{0}; 2 =2, b = t (1,-3,-3), tR/{0}; 6) 1 =-1 , b = t (-1, -1, 1), tR/{0}; 7) 1 =0 , b = t (3/2, -1/2, 1), tR/{0}. Дома: Линейные операторы в евклидовых пространствах.
220400 Алгебра и геометрия Толстиков а.В.
Курс 1. Семестр 1. Практическое занятие 15. Линейные операторы в евклидовых пространствах
Изучаемые вопросы
Определение сопряженного оператора. Матрица сопряженного оператора в ортонормированном базисе. Самосопряженный оператор. евклидовых пространствах и их свойства. Матрица самосопряженного оператора в ортонормированном базисе. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора. Ортогональные матрицы и их свойства. Ортогональные операторы и их свойства.
Задачи для самостоятельного решения в аудитории и на дом
Найдите сопряженный оператор A* для оператора A поворота пространства V2 векторов плоскости на угол . Вычислить матрицу оператора A*.
Найдите сопряженный оператор A* для нуль-оператора A. Вычислить матрицу оператора A*.
Найдите сопряженный оператор A* для тождественного оператора A. Вычислить матрицу оператора A*.
Найдите сопряженный оператор A* для оператора A подобия пространства V2. Вычислить матрицу оператора A*.
Являются ли операторы из упражнений 1-4 самосопряженными.
В линейной оболочке L = L(sin x, cos x) скалярное произведение элементов f1 = A1sin x + B1cos x, f2= A1sin x + B1cos x введено по формуле. (f1, f2) = A1A2 + B1B2. Найти оператор, сопряженный к оператору дифференцирования, действующему в пространстве L. Доказать, что оператор дифференцирования действующий в пространстве L является ортогональным.
В линейной оболочке L = L(sin x, cos x) скалярное произведение элементов f1 = A1sin x + B1cos x, f2= A1sin x + B1cos x введено по формуле. (f1, f2) = A1A2 + B1B2 + (1/2)(A1B2 + B1A2). Найти ортонормированный базис пространства . Найти матрицу оператора и сопряженного. Является ли оператор самосопряженным.
Найти собственные векторы и собственные значения линейного оператора, действующего в евклидовом пространстве и имеющего в ортонормированном базисе e1, e2, e3 матрицу. Составить матрицу из собственных значений.
.
Найти матрицу сопряженного оператора A* в базисе f1= e1+ e2+ e3, f2=e2+ e3, f3=e2- e3, e1, e2, e3 - ортонормированный базис, если матрица линейного оператора A евклидова пространства в базисе f1, f2, f3 равна .
Линейный оператор A, действующий в евклидовом пространстве, имеет в базисе f1= e2+ e3, f2=e1+ e3, f3=e1+e3, e1, e2, e3 - ортонормированный базис, матрицу . Является ли оператор ортогональным?