ФГОУ ВПО «КАЛИНИНГРАДСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

КАФЕДРА ФИЗИКИ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА № 211

ИЗУЧЕНИЕ ЯВЛЕНИЯ ДИФРАКЦИИ СВЕТА

Методическое указание к выполнению лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических специальностей

Калининград

2000

УДК

Рецензент:

Кандидат физико-математических наук Шуманов В.А.

Лелюшкина О.М.,

Брюханов В.В.

Лабораторная работа "Изучение явления дифракции света"

Методические указания: Калининградский гос.тех.университет.

г. Калининград, 2000 - ….с

YSBN......

Методические указания предназначены для выполнения лабораторной работы по курсу общей физики для студентов инженерно-технических факультетов

Одобрено на научно-методическом семинаре кафедры физики

1. Введение

1.1. Элементарная теория дифракции электромагнитных волн.

Свет представляет собой сложное явление: в одних случаях он ведёт себя как электромагнитная волна, в других - как поток особых частиц (фотонов).

В волновой оптике рассматриваются явления, в которых проявляется волновая природа света (интерференция, дифракция, поляризация и дисперсия).

До конца XVIII столетия в физике доминировала теория Ньютона о корпускулярной природе световых волн. В своей научной работе, представленной на конкурс в Парижскую академию наук в 1818 г., Огюстен Френель (1788-1827 г.г.) показал, что за непрозрачным диском, вопреки законам геометрической оптики, наблюдается светлое пятно, а по бокам - система концентрических тёмных и светлых колец.

Схема огибания светом непрозрачного диска.

Рис.1.

Явление огибания световыми волнами препятствий и проникновение их в область геометрической тени называется дифракцией.

Качественно поведение света за преградой с отверстием может быть объяснено с помощью принципа Гюйгенса (1629-1695 г.г.): каждая точка, до которой доходит волновое движение, служит центром вторичных волн; огибающая этих волн дает положение фронта волны в следующий момент времени.

В соответствии с Гюйгенсом, каждая точка выделяемого отверстием участка волнового фронта служит центром вторичных волн, которые в однородной и изотропной среде будут сферическими (рис. 2) и зайдут в область геометрической тени.

Рис.2. Построение Гюйгенса

Вместе с тем, принцип Гюйгенса не даёт сведений об амплитуде и интенсивности волн, распространяющихся в различных направлениях. Для решения этой задачи Френель дополнил принцип Гюйгенса идеей об интерференции вторичных волн. Все вторичные источники, находящиеся на одном волновом фронте, являются когерентными и при расчёте амплитуды суммарной световой волны следует учитывать их интерференцию. Таким образом, явление дифракции можно рассматривать как явление интерференции, однако необходимо отметить ещё од­но обстоятельство.

Из теории Максвелла (1831-1879г.г.) известно, что световая волна является поперечной электромагнитной волной (электрическое и маг­нитное поля волны направлены перпендикулярно к направлению распространения волны):

(1)

,

где и - амплитуды напряжённости электрического и магнитного полей в волне; - волновой вектор; - циклическая частота; - начальная фаза.

Для рассмотрения явления интерференции можно оперировать с любым вектором, однако все оптические явления обусловлены вектором , который ещё называют световым. Таким образом, для получения интерференционной картины, кроме когерентности, необходимо обеспечить одинаковую поляризацию волн.

Используя принцип Гюйгенса-Френеля, сделаем построение Френеля (рис.З) по разбиению сферического волнового фронта на вторичные когерентные источники (излучающие зоны).

Построение зон Френеля Рис.3.

Границей первой (центральной) зоны служат точки поверхности S, находящиеся на расстояниях b+2 /2; b+3 /2 и т.д. от точки М, образуя границы 2-ой; 3-ей и т.д. зон Френеля. Следовательно, каждая зона Френеля является источником света, фазы которых попарно противоположны. Поэтому при наложении эти колебания должны ослаблять друг друга в точке М.

Вычисления радиуса зон Френеля.

Рис.4.

Вторым важным обстоятельством для интерференции является равенство интенсивности свечения зон Френеля. Покажем, что при указанном построении площади зон Френеля вблизи вершины сферы одинаковы.

На рис.4 точки В и В' соответствуют внешней границе -й зоны; ВС = -внешний радиус -й зоны; СО = - высота шарового сегмента ВОВ'. Из прямо­угольных треугольников S₀ВС и МВС следует, что

Т.к. очень мало по сравнению с а и в, то при не очень больших в выражении

вторым членом в правой части можно пренебречь по сравнению с первым, так что

и

Площадь сферического сегмента, представляющего первую (центральную) зону, есть

(2)

Для площади сегмента, представляющего две первые зоны, , т.е. площадь второй зоны равна площади первой зоны. Приблизительно такую же площадь будут иметь и каждая из последующих зон.

Таким образом, построение Френеля разбивает поверхность сферической волны на равновеликие зоны. Однако необходимо принять во внимание, что действие (амплитуда волны) отдельных зон в точке М тем меньше, чем больше угол между нормалью к поверхности зоны и направлением на точку М. Таким образом, амплитуда колебаний светового поля зон постепенно убывает от центральной зоны к периферии, т.е.

(3)

Фазы колебаний, возбуждаемых соседними зонами, отличаются на . Действие центральной зоны в т.М ослабится действием соседней зоны и т.д. Амплитуда Е результирующего колебания светового поля может быть представлена в виде

Е = Е₁ - Е₂ + Е₃ - Е₄+….= Е₁ – ( Е₂ - Е₃) – (Е₄ - Е₅) -…..

Все амплитуды от нечётных зон входят с одним знаком, от чётных зон - с другим. Вследствие монотонного убывания Е_i можно приближённо считать, что , тогда

Выражения в скобках будут равны нулю и

(4)

Следовательно, результирующее действие всего открытого волнового фронта равно половине действия центральной зоны Френеля, радиус которой очень мал. Практически можно считать, что свет распространяется из S₀ в М прямолинейно.

Итак, метод зон Френеля позволяет определить результирующую амплитуду и интенсивность в простейших дифракционных задачах. Различают два случая дифракции света:

1. Дифракция Френеля в сходящихся лучах, когда на препятствие падает сферическая или плоская волна, а дифракционная картина наблюдается на экране, находящемся позади препятствия на конечном расстоянии от него.

2. Дифракция Фраунгофера на щели в параллельных лучах.

Дифракция Фраунгофера от одной щели.

Прямоугольное отверстие длиной несколько миллиметров и шириной в (0,01-0,02) мм практически играет роль щели. На рис.5 ширина щели ВС=в, а длина в направлении, перпендикулярном плоскости, L>>b. Параллельные лучи света падают на щель нормально к её поверхности. Дифракционная картина наблюдается на экране Э, установленном в фокальной плоскости собирающей линзы Л. Интерференция вторичных излучателей волнового фронта в разных направлениях будет происходить только за счёт разности хода, возникающей после прохождения щели.

Ход лучей света от вторичных источников при дифракции на щели. Рис.5.

а). Приближённое решение задачи Фраунгофера.

Щель по ширине можно разбить в направлении угла на зоны Френеля, имеющие вид параллельных ребру В полосок, разность хода от краёв которых равна . Число зон Френеля будет зависеть от ширины щели в, угла наблюдения и длины волны . Разность хода между лучами 1-ым и -ым от щели равна:

(5)

Е сли на величине укладывается чётное или нечётное число полуволн монохроматического света, то в направлении угла будет наблюдаться, соответственно, min или max дифракционной картины (min или max интерференции на экране от вторичных излучателей щели):

Min : ; m=1,2,3,….. (6)

Max : ; m=1,2,3,……

Величина m называется порядком дифракционного максимума.

Максимально возможное число дифракционных минимумов и максимумов определяется величиной . При =0 щель действует как одна зона Френеля. При этом наблюдается центральный дифракционный max .

Дифракционная картина зависит от ширины щели. Сужение щели приводит к уменьшению яркости максимумов и расширению их на экране. Увеличение ширины щели приводит к увеличению яркости максимумов при уменьшении их ширины на экране. При в >> на экране наблюдается резкое изображение щели, т.е. явление дифракции отсутствует. Наиболее чёткая дифракционная картина получается в том случае, когда ширина щели в ~

~ (3÷ 5) .

Если на щель падает не монохроматический, а белый свет, то центральный максимум - белого цвета с радужной окраской по краям. Все остальные интерференционные полосы - цветные, поскольку для одних и тех же порядков m соответствуют, в зависимости от , разные углы дифракции . Полное гашение света не происходит ни в одной точке экрана, т.к. максимумы и минимумы света с разными перекрываются.

б). Определение интенсивности света дифракционных максимумов.

Щель разбивается на большое число одинаковых узких полос, параллельных ребру В (рис. 5) Вторичные волны, излучаемые этими элементами щели, возбуждают в точке колебания светового поля, которые имеют одинаковые амплитуды, а их начальные фазы укладываются в интервале

(7)

Амплитуда колебаний в точке определяется выражением

(8)

Поскольку I ~ Е², то

, (9)

где Е₀ и I₀ - амплитуда светового поля и интенсивность света в центральном максимуме ( = 0).

Дифракционная решетка.

Рис.6

Одномерная прозрачная дифракционная решётка представляет собой систему из большого числа N одинаковых по ширине и параллельных друг другу щелей в экране, разделённых также одинаковыми по ширине непрозрачными промежутками (рис. 6), где в - ширина щели; а - ширина непрозрачного промежутка. Величина d= а + b называется постоянной, или периодом дифракционной решётки. Важной характеристикой дифракционной решётки является густота штриховки n (число штрихов на единице длины решётки):

n = 1/d, м^-1 (10)

Рис.7.

При расчёте дифракционной картины (рис.7) на экране, установленном в фокальной плоскости собирающей линзы, необходимо учитывать интерференцию когерентных вторичных волн как от разных участков одной щели, так и от разных щелей решётки.

Рассмотрим интерференционную картину, создаваемую на экране каждой щелью как отдельным источником света. Можно предположить, что интерферируют когерентные источники одного и того же волнового фронта, называемые соответственными точками (например, В и Д). Разность фаз между такими соседними излучателями равна:

, где - волновой вектор. (11)

Волны от N щелей решётки (амплитуды):

1-ая щель:

2-я щель:

3-ая щель:

………………………………….

к-ая щель:

Результирующая амплитуда в направлении угла :

(12)

Величина суммы может быть вычислена как сумма геометрической прогрессии

(13)

Тогда (14)

Для интенсивности

(15)

Интерференционная картина будет иметь следующее распределение интенсивности света:

1. Прежние max и min от каждой щели по формуле (6)

max: (16)

min: m=1,2,3,…….

2. Новые главные максимумы дифракции возникают в результате интерференции от соответственных точек по известному соотношению для двухлучевой интерференции:

m=0,1,2,3,….. (17)

3. Добавочные минимумы из равенства нулю числителя в формуле (15):

(но не )

, где m=1,2,3,…..

(18)

В монохроматическом свете дифракционная картина от многих (N>>1) щелей имеет вид узких и ярких главных максимумов, разделённых практически тёмными широкими промежутками.

Энергетическая структура дифракционного максимума.

Рис.8.

На рис. 8 изображена структура одного из максимумов дифракционной кар­тины (ф.16), под огибающей которого расположены главные максимумы (ф.17) и добавочные минимумы (ф.18).

При освещении дифракционной решётки белым светом на экране наблюда­ется неокрашенный центральный максимум нулевого порядка, а по обе стороны от него - дифракционные спектры 1-го; 2-го; 3-го и т.д. порядков. Спектры имеют вид радужных полосок, в которых наблюдается непрерывный переход от окраски сине-фиолетового цвета у внутреннего края спектра к красной у внешнего края. Указанное свойство дифракционной решётки разлагать белый свет на различные длины волн называется дисперсией решётки.

Определим дисперсию - минимальный интервал длин волн (отличие волн с длинами от до ), разрешаемых данной дифракционной решёткой на экране. Продиф­ференцируем ф.(17):

Величину найдём, продифференцировав по ф.(18):

,

тогда - ангстрем (19)

Чем больше N - число штрихов, тем выше разрешающая способность решётки.

Современные дифракционные решётки имеют до 18000 штрихов на 1 мм и для получают значения до 10^-3 .

1.2. Проведение эксперимента.

Из условия максимума (k=0,1,2,3,….) следует, что

(20)

Формула (20) показывает, что, зная период (густоту штриховки) решётки d и угол между направлениями светового пучка, дающего максимум к-го порядка, и нормалью к плоскости решётки, можно определить длину волны наблюдаемого света. Схема экспериментальной установки представлена на рис. 9.

Рис. 9

Задание 1.

Определение длины волны излучения газового лазера с помощью одномерной дифракционной решётки.

Цель работы: Определение длины световой волны с помощью дифракционной решётки; нахождение периода дифракционной решётки.

Оборудование: 1. Лазер.

2. Дифракционная решетка (2 шт.).

3. Экран.

4. Линейка измерительная.

Упражнение I.

Порядок выполнения работы:

1. Включить лазерный источник света и установить все элементы установки на оптической скамье таким образом, чтобы на экране отчётливо наблюдалась дифракционная картина. Первой установить решётку с густотой штриховки n = 294 1/мм. При этом, поворачивая решётку, вывести дифракционные точки на ось Х экрана, а поворачивая лазер, центральную точку установить в произвольном начале координат этой оси.

2. По координатной сетке экрана определить координаты Х_1,1 и Х_1,2 для максимумов первого порядка (к=1) слева и справа от центрального максимума (без учёта знаков). Измерения провести 3 раза для разных значений L, измеряя длины миллиметровой линейкой от оси экрана до ближайшего торца решётки.

3. Определить координаты Х_2,1 и Х_2,2 для максимумов второго порядка (к=2) слева и справа от центрального для тех же трёх значений L.

4. Рассчитать средние значения координат:

5. Все экспериментальные данные занести в таблицу .

6. Определить и ( -угол дифракции для к=1; -угол дифракции для к=2). Для определения находим из треугольника:

7. Подставив в рабочую формулу, получим:

,

где , n=294 1/ мм - густота штриховки данной решётки.

Таблица (см. продолжение на след. листе)

Решётка с n=294 1/мм
L( к=1),мм	Х1,1, мм	Х1,2, мм	<Х1>, мм	sin 1	, нм
L(k=2),мм	X2,1, мм	X2,2, мм	<X2>,мм	sinφ2	λ, нм
Решётка c неизвестной густотой штриховки n
L(k=1),мм	Х2,1, мм	Х2,2, мм	<Х2>,мм	sinφ2	n, мм-1

7. Рассчитать среднее значение длины волны красного света < > из шести табличных значений, сравнить со справочным значением. Справочная таблица на установке №204.

8. Рассчитать косвенную погрешность полученного значения длины волны, учтя погрешности: случайную при доверительной вероятности p = 0,95 и погрешности округления при измерении координат и расстояний (h_х = h_L= =1мм). При расчёте погрешностей руководствоваться методическими указаниями №100.

Упражнение II.

Определение периода дифракционной решётки по известной длине световой волны.

1. Установить на оптической скамье держатель с другой дифракционной решёткой (с неизвестной густотой штриховки). Поворачивая при необходимости дифракционную решётку и лазер, получить на экране дифракционную картину.

2. Провести измерения аналогично упражнению 1 для трёх положений дифракционной решётки на оптической скамье, начиная с самого ближайшего положения решётки к экрану (только для к=1). Данные внести в таблицу.

3. Подставляя в формулу значение < >, полученное в упражнении 1, а также остальные значения по результатам измерений в упражнении 2, рассчитать среднее значение густоты штриховки <n>=1/<d> для данной решётки.

ЗАДАНИЕ 2.

Дифракция на двумерной плоской решётке.

Цель работы: исследование дифракции света на прозрачной двумерной дифракционной решётке; определение постоянных решётки; определение распределения интенсивности света в плоскости дифракционной картины.

Теория вопроса.

Двумерная плоская дифракционная решётка представляет собой совокупность двух прозрачных одномерных дифракционных решёток с периодами и , щели которых расположены взаимно перпендикулярно (рис. 10 и 11).

Обсудим дифракцию плоской монохроматической световой волны, распространяющейся перпендикулярно плоскости решётки. Выберем систему координат так, чтобы ось х была перпендикулярна щелям одной из решёток, ось у - щелям второй решётки, ось z - плоскости решётки (рис. 11). Будем характеризовать направления распространения падающей и дифрагирующей волн углами соответственно и между нормалями к волновым поверхностям и осями х,у,z (рис. 12). В рассматриваемом случае . Плоская световая волна после прохождения решётки с горизонтальными штрихами образовала бы в фокальной плоскости линзы, расположенной за решёткой (рис. 13), дифракционный спектр, представляющий собой горизонтально расположенные линии в направлениях, отвечающих

Рис.10. Рис.11.

условиям возникновения максимумов для решётки с периодом d₂. При наличии лишь одной решётки с вертикальными щелями наблюдался бы спектр, представляющий вертикально расположенные линии, удовлетворяющие условиям дифракционных максимумов для решётки с периодом d₁.

Условия возникновения максимумов для двумерной решётки:

, (21)

где и - целые числа, определяющие порядок дифракционных спектров для решёток с периодами d₁ и d₂; - длина волны света. Главные максимумы наблюдаются только в направлениях, удовлетворяющих совокупности двух соотношений (21), причём каждой паре целых чисел и отвечает максимум определённого порядка. Углы связаны соотношением

(22)

Из трёх соотношений (21) и (22) определяют углы , под которыми можно наблюдать главные максимумы дифракционной картины. Дифракционная картина на двумерной дифракционной решётке изображена на рис. 14. Она представляет собой совокупность световых пятен на пересечении вертикальных и горизонтальных линий, соответствующих условиям дифракционных максимумов для решёток с вертикальными и горизонтальными штрихами. Распределение интенсивности света в дифракционной картине определяется соотношением

, (23)

где - функция, явный вид (его не приводим) которой зависит от коэффициентов пропускания вертикальной и горизонтальной решёток; и - ширины вертикальных и горизонтальных щелей ; N₁ и N₂ — числа вертикальных и горизонтальных щелей; и - разность фаз между волнами, дифрагировавшими соответственно на соседних щелях вертикальной и горизонтальной решёток:

, .

Анализ выражения (23) показывает, что главные максимумы возникают тогда, когда одновременно и . В этом случае интенсивность света I ~ . Если удовлетворяется условие возникновения главного максимума лишь для одной из решёток, то интенсивность соответствующего максимума много меньше.

Рис. 12.

Рис. 13.

Экспериментальная установка

Схема установки для исследования дифракции света на двумерной решётке представлена на рис. 9, где 1 - источник плоской монохроматической световой волны (лазер); 2 - двумерная дифракционная решётка, которая заменяет одномерную дифракционную решётку в предыдущем задании; 3 - экран. Все элементы установки собраны на оптической скамье.

	Рис. 14.
Рис. 15.

Проведение эксперимента:

1. Включить источник света (лазер) и отъюстировать все элементы установки на оптической скамье таким образом, чтобы на экране 3 (рис. 15) отчётливо наблюдалась дифракционная картина.

2. На экране (съёмном листе белой бумаги) нанести изображение дифракционной картины.

3. Измерить расстояние L от решётки до экрана.

Обработка результатов.

На листе с изображением дифракционной картины нанести координатные оси х и у. Измерить расстояния и для главных дифракционных максимумов. Из рис. 15 видно, что

, , , ,

где L - фокусное расстояние линзы.

Используя условия (21) возникновения главных дифракционных максимумов для решёток с периодами d₁ и d₂

, ,

при малых углах и имеем:

,

Зная длину волны лазерного излучения и фокусное расстояние L линзы, определить постоянные d₁ и d₂ двумерной дифракционной решётки.