Приближенное интегрирование функций

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и известна ее первообразная F(х), то определенный интеграл от этой функции в пределах от а до b может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница

, (1)

где F'(х) = f(x).

Однако во многих случаях первообразная функция F(х) не может быть найдена с помощью элементарных средств или является слишком сложной; вследствие этого вычисление определенного интеграла по формуле (1) может быть затруднительным или даже практически невыполнимым. Кроме того, на практике подынтегральная функция f(x) часто задается таблично и тогда само понятие первообразной теряет смысл. Во всех этих случаях используют приближенные и в первую очередь численные методы вычисления определенных интегралов.

Задача численного интегрирования функции заключается в вычислении значения определенного интеграла на основании ряда значений подынтегральной функции. В работе рассматриваются три правила численного вычисления однократных интегралов: правило трапеций, правило Симпсона и правило трех восьмых.

Обычный прием механической квадратуры (так называется численное вычисление однократного интеграла) состоит в том, что данную функцию f(x) на рассматриваемом отрезке [а, b] заменяют интерполирующей или аппроксимирующей функцией (x) простого вида (например, полиномом), а затем приближенно полагают:

(2)

Функция (x) должна быть такова, чтобы интеграл вычислялся непосредственно.

Если заменить функцию f(x) соответствующим интерполяционным полиномом Лагранжа L_n(x) и вывести явно выражения для коэффициентов этого полинома, то получится следующая квадратурная формула

где h = (b–a)/n, y_i = f(a+ih) (i=0, 1, …, n) и H_i – постоянные, называемые коэффициентами Котеса.

При n = 1 получаем формулу трапеций

= h/2*(y₀+y₁).

При n = 2 получаем формулу Симпсона

= h/3*(y₀+4y₁+y₂).

При n = 3 получаем квадратурную формулу Ньютона

= 3h/8*(y₀+3y₁+3y₂+y₃).

(правило трех восьмых).

Для вычисления интеграла необходимо разделить промежуток интегрирования [a, b] на n равных частей [x₀, x₁], [x₁, x₂], …, [x_n-1, x_n] и к каждому их них применить полученную формулу.

Пример 5.Пусть n=2m есть четное число и y_i = f(x_i) (i=0, 1, 2, …, n) – значения функции y=f(x) для равноотстоящих точек a=x₀, x₁, x₂, …, x_n=b с шагом h=(b–a)/n=(b–a)/(2m). Применяя формулу Симпсона к каждому удвоенному промежутку [x₀, x₂], [x₂, x₄], …, [x_2m-2, x_2m] длины 2h, будем иметь:

= h/3*(y₀+4y₁+y₂) + h/3*(y₂+4y₃+y₄) + … + h/3*(y_2m-2+4y_2m-1+y_2m).

Отсюда получаем общую формулу Симпсона

= h/3*[(y₀+y_2m) + 4(y₁+y₃+ … +y_2m-1) + 2(y₂+y₄+ … +y_2m-2)].

Введя обозначения

_y₁+y₃+ … +y_2m-1,

_y₂+y₄+ … +y_2m-2,

Получим общую формулу Симпсона в более простом виде:

= h/3*[(y₀+y_n) + 4_ + 2_].

С помощью формулы Симпсона вычислить интеграл

,

приняв n=10.

Решение. Имеем 2m=10. Отсюда

h=(1-0)/10=0,1.

Результаты вычислений приведены в таблице.

i	xi	y2j-1	yj
0	0		y0 = 1,00000
1	0,1	0,90909
2	0,2		0,83333
3	0,3	0,76923
4	0,4		0,71429
5	0,5	0,66667
6	0,6		0,62500
7	0,7	0,58824
8	0,8		0,55556
9	0,9	0,52632
10	1,0		0,50000 = yn
		3,45955 ()	2,72818 ()

По общей формуле Симпсона получаем:

I  h/3*(у₀+у_n+4_+2_) = 0,69315. 

Задания

Написать программу, реализующую итерационные вычислительные процессы, с использованием процедурных типов данных:

1. Нечетные варианты решают задачу приближенного решения алгебраических и трансцендентных уравнений.

2. Четные варианты решают задачу приближенного интегрирования функций с заданной точностью.

3. В соответствии с порядковым номером в журнале выбирается набор из трех функций.

Набор 1

1. x² = sin(x).

2. x³ = sin(x).

3. x = arcsin((x+1)/4).

Набор 2

1. x³ - 5*x + 1 = 0.

2. x³ - 9* x² + 20*x - 1 = 0.

3. x³ - 3* x² - 3*x + 10 = 0.

Набор 3

1. x⁵ + 5*x + 1 = 0.

2. sin( x ) + x = 1.

3. x² - 10*lg( x ) - 3 = 0

Набор 4

1. x² = ln( x+1 ).

2. ln( x ) = 4 - x².

3. lg( x ) = 0.1*x.

Набор 5

1. f(x) = 1/( x^(1/3) + 1 ).

2. f(x) = ( 4 + x² )^(1/2).

3. f(x) = 1/sqrt( 1-0.25*sin( x ) ).

Набор 6

1. f(x) = exp( -x )*cos( pi*x/4 ).

2. f(x) = tg( x )^(1/2).

3. f(x) = (1 + cos( x² )^(1/2) ).

Набор 7

1. f(x) = (x²-5) *(10-x).

2. f(x) = exp(2*x) * sin(2*x² + 1).

3. f(x) = arccos(exp(-(3*x)^(1/3) ).