Способ пропорциональных частей (метод хорд)

Пусть для определенности f(a) < 0 и f(b) > 0. Тогда, вместо того чтобы делить отрезок [а, b] пополам, более естественно разделить его в отношении – f(а):f(b). Это дает нам приближенное значение корня

x₁ = a + h₁, (1)

где

h₁ = –f(a)/(–f(a) + f(b))*(b – a) = –f(a)/(f(b) – f(a))*(b – а). (2)

Далее, применяя этот прием к тому из отрезков [а, х₁] или [х₁, b], на концах которого функция f(x) имеет противоположные знаки, получим второе приближение корня x₂ и т. д.

Геометрически способ пропорциональных частей эквивалентен замене кривой у = f(х) хордой, проходящей через точки А[a, f(а)] и В[b, f(b)]. В самом деле, уравнение хорды АВ есть

(х – а)/(b – a) = (y – f(а))/(f(b) – f(a)).

Отсюда, полагая x = x1 и y = 0, получим

x₁ = a – f(a)/(f(b) – f(a))*(b – a) (1')

Формула (1') полностью эквивалентна формулам (1) и (2).

Пример 3. Найти положительный корень уравнения

f(x) = х³ – 0,2х² – 0,2х – 1,2 = 0

с точностью до 0,002.

Решение. Прежде всего отделяем корень. Так как

f(1) = –0,6 < 0 и f(2) = 5,6 > 0,

то искомый корень  лежит в интервале (1, 2). Полученный интервал велик, поэтому разделим его пополам. Так как

f(1,5) = 1,425, то 1 <  < 1,5.

последовательно применяя формулы (1) и (2), будем иметь:

x₁ = 1 + 0,6/(1,425 + 0,6)*(1,5 – 1) = 1 + 0,15 = 1,15;

f(x₁) = –0,173;

x₂ = 1,15 + 0,173/(1,425 + 0,073)*(1,5 – 1,15) =1,15 + 0,040 = 1,190;

f(x₂) = –0,036;

x₃ = 1,190 + 0,036/* (1,5 – 1,190) = 1,190 + 0,008 = 1,198;

f(x₃) = –0,0072.

Так как f'(x) = 3х² – 0,4х – 0,2 и при х₃ < х < 1,5 имеем

f'(х)  3*1,1982 – 0,4*1,5 – 0,2 = 3*1,43 – 0,8 = 3,49,

то можно принять:

0 <  – x₃ < 0,0072/3,49  0,002.

Таким образом,  = 1,198 + 0,002, где 0 <   1.

Заметим, что точный корень уравнения есть  = 1,2. 

Метод Ньютона (метод касательных)

Пусть корень  уравнения

f(x) = 0 (1)

отделен на отрезке [а, b], причем f'(х) и f"(х) непрерывны и сохраняют определенные знаки при a  х  b. Найдя какое-нибудь n-е приближенное значение корня x_n   (а  х_n  b), мы можем уточнить его по методу ньютона следующим образом. Положим

 = x_n + h_n (2)

где h_n считаем малой величиной. Отсюда, применяя формулу Тейлора, получим:

0 = f(x_n+ h_n)  f(x_n) + h_nf'(x_n).

Следовательно,

h_n = – f(x_n)/f'(x_n).

Внеся эту поправку в формулу (2), найдем следующее (по порядку) приближение корня .

x_n+1 = x_n – f(x_n)/f'(x_n) (n = 0, 1, 2, …). (3)

Геометрически метод Ньютона эквивалентен замене небольшой дуги кривой у = f(x) касательной, проведенной в некоторой точке кривой.

В общем случае «хорошим» начальным приближением х₀ является то, для которого выполнено неравенство

f(x₀)f''(x₀) > 0. (4)

Это доказывается с помощью следующей теоремы.

Теорема. Если f(a)f(b) < 0, причем f'(x) и f''(x) отличны от нуля и сохраняют определенные знаки при

а  x b, то, исходя из начального приближения х₀  [а, b], удовлетворяющего неравенству (4), можно вычислить методом Ньютона (формула (3)) единственный корень уравнения (1) с любой степенью точности. 

Замечание 1. Если: 1) функция f(х) определена и непрерывна при -  < х < + ; 2) f(a)f(b) < 0; 3)

f'(x) при а  х  b; 4) f"(х) существует всюду и сохраняет постоянный знак, то при применении метода Ньютона для нахождения корня уравнения f(х) = 0, лежащего в интервале (а, b), за начальное

приближение х₀ можно принять любое значение c  [a, b]. В частности, можно взять x₀ = a или x₀ = b.

Замечание 2. Из формулы (3) видно, что чем больше численное значение производной f'(х) в окрестности данного корня, тем меньше поправка, которую нужно прибавить к n-му приближению, чтобы получить (n+1)-е приближение. Поэтому метод Ньютона особенно, удобно применять тогда, когда в окрестности данного корня график функции имеет большую крутизну. Но если численное значение производной f'(х) близ корня мало, то поправки будут велики, и вычисление корня по этому методу может оказаться очень долгим, а иногда и вовсе невозможным. Следовательно, если, кривая y = f(x) вблизи точки пересечения с осью Ox почти горизонтальна, то применять метод Ньютона для решения уравнения f(х) = 0 не рекомендуется.

Пример 4. Вычислить методом Ньютона отрицательный корень уравнения f(х) = х⁴ – 3х² + 75х – 10000 = 0 с пятью верными знаками.

Решение. Полагая в левой части уравнения х = 0, –10, –100, ... , получим f(0) = –10000, f(–10) = –1050, f(–100)  +10⁸. Следовательно, искомый корень  находится в интервале –100 <  < –10. Сузим найденный интервал. Так как f(–11) = 3453, то –11 <  < –10. В этом последнем интервале f'(х) < 0 и f''(x) > 0. Так как f(–11) > 0 и f''(–11) > 0, то можем принять за начальное приближение x₀ = –11. Последовательные приближения х_n (n = 1, 2, ... ) вычисляем по следующей схеме:

n	хn	f(хn)	f'(хn)	hn = –f(хn)/f''(xn)
0	–11	3453	–5183	0,7
1	–10,3	134,3	–4234	0,03
2	–10,27	37,8	–4196	0,009
3	–10,261	0,2	–	–

Останавливаясь на n = 3, провернем знак значения f(х_n+0,001) = f(–10,260). Так как f(–10,260) < 0, то –10,261 <  < –10,260, и любое из этих чисел дает искомое приближение. 