Отделение корней

Для отделения корней полезна известная теорема из математического анализа.

Теорема. Если непрерывная функция f(x) принимает значения разных знаков на концах отрезка [, ], т. е. f()f() < 0, то внутри этого отрезка содержится по меньшей мере один корень уравнения f(х) = 0, т. е. найдется хотя бы одно число   (, ) такое, что f() = 0. 

Корень  заведомо будет единственным, если производная f'(х) существует и сохраняет постоянный знак внутри интервала (, ), т. е. если f'(х) > 0 (или f'(х) < 0) при  < х < .

Процесс отделения корней начинается с установления знаков функции f(х) в граничных точках х = а и х = b области ее существования. Затем определяются знаки функции f(х) в ряде промежуточных точек х = ₁, ₂, ..., выбор которых учитывает особенности функции f(x). Если окажется, что f(_k)f(_k+1) < 0, то в силу теоремы 1 в интервале (_k, _k+1) имеется корень уравнения f(х) = 0. Нужно тем или иным способом убедиться, является ли этот корень единственным. Для отделения корней практически часто бывает достаточно провести процесс половинного деления, приближенно деля данный интервал (, ) на две, четыре, восемь и т. д. равных частей (до некоторого шага) и определяя знаки функции f(х) в точках делений. Полезно помнить, что алгебраическое уравнение n-й степени

а₀xⁿ + a₁x^n-1 + ... + а_n = 0 (а₀  0)

имеет не более n действительных корней. Поэтому если для такого уравнения мы получили n+1 перемену знаков, то все корни его отделены.

Пример 1.Отделить корни уравнения

f(x) = x⁴ – 4x – 1 = 0.

Решение. Здесь f'(х) = 4(x³ – 1), и поэтому f'(х) = 0 при x = 1. Имеем f(–) > 0 (+); f(1) < 0 (–); f(+) > 0 (+). Следовательно, уравнение имеет только два действительных корня, из которых один лежит в интервале

(–, 1), а другой – в интервале (1, +). 

Метод половинного деления

Пусть дано уравнение

f(х) = 0, (1)

где функция f(х) непрерывна на [а, b] и f(a)f(b) < 0.

Для нахождения корня уравнения (1), принадлежащего отрезку [а, b], делим этот отрезок пополам. Если f((a+b)/2) = 0, то  = (a+b)/2 является корнем уравнения. Если f((a+b)/2)  0, то выбираем ту из половин

[а, (a+b)/2] или [(a+b)/2, b], на концах которой функция f(x) имеет противоположные знаки. Новый суженный отрезок [a₁, b₁] снова делим пополам и проводим то же рассмотрение и т. д. В результате получаем на каком-то этапе или точный корень уравнения (1), или же бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков [а₁, b₁], [a₂, b₂], ..., [а_n, b_n], ... таких, что

f(а_n)f(b_n) < 0 (n = 1, 2, ... ) (2)

и

b_n – a_n = (b – а)/2ⁿ. (3)

Так как левые концы а₁, a₂, ..., а_n, ... образуют монотонную неубывающую ограниченную последовательность, а правые концы b₁, b₂, ..., b_n, ... – монотонную невозрастающую ограниченную последовательность, то в силу равенства (3) существует общий предел

 = lim а_n = lim b_n

n n

Переходя к пределу при n в неравенстве (2), в силу непрерывности функции f(х) получим [f()]²  0. Отсюда f() = 0, т. е.  является корнем уравнения (1), причем, очевидно,

0  – a_n  (b – а)/2ⁿ. (4)

Если корни уравнения (1) не отделены на отрезке [а, b], то таким способом можно найти один из корней уравнения (1).

Метод половинного деления практически удобно применять для грубого нахождения корня данного уравнения, так как при увеличении точности значительно возрастает объем вычислительной работы.

Пример 2. Методом половинного деления уточнить корень уравнения

f(х) = х⁴ + 2х³ – x – 1 = 0,

лежащий на отрезке [0, 1].

Решение. Последовательно имеем:

f(0) = –1; f(1) = 1;

f(0,5) = 0,06 + 0,25 – 0,5 – 1 = –1,19;

f(0,75) = 0,32 + 0,84 – 0,75 – 1 = –0,59;

f(0,875) = 0,59 + 1,34 – 0,88 – 1 = +0,05;

f(0,8125) = 0,436 + 1,072 – 0,812 – 1 = –0,304;

f(0,8438) = 0,507 + 1,202 – 0,844 – 1 = –0,135;

f(0,8594) = 0,546 + 1,270 – 0,859 – 1 = –0,043 и т. д.

Можно принять

 = (0,859 + 0,875)/2 = 0,867. 