Статистическая физика / Конспект лекций

Важное свойство скобок Пуассона состоит в том, что если динамические переменные и являются интегралами движения, то составленная из них скобка Пуассона тоже является интегралом движения:

Это утверждение называется теоремой Пуассона, оно может быть доказано с использованием (1.4.10) и тождества Якоби. Применяя теорему Пуассона, мы не всегда будем получать новые интегралы движения. В некоторых случаях скобки Пуассона сведутся к тривиальному результату — постоянной величине. В других случаях полученный результат оказывается просто функцией исходных интегралов движения и . В остальных случаях скобки Пуассона дают новый интеграл движения.

1.5. Фазовое пространство. Оператор эволюция замкнутой системы

Для геометрической интерпретации динамики механической системы часто используется понятие о так называемом фазовом пространстве как о

механической системы. Каждая точка этого пространства, которую мы будем обозначать и называть фазовой точкой, отвечает определенному состоянию системы. Таким образом, фазовое

соответствует одно из микросостояний рассматриваемой системы материальных точек (с учётом наложенных связей).

При движении системы изображающая ее фазовая точка описывает в фазовом пространстве соответствующую линию, называемую фазовой

времени перемещается фазовая точка системы, т.е. фазовую траекторию системы. Положение фазовой точки однозначно определяет динамическое состояние (вектор состояния) системы в данный момент времени .

Если начальные точки не лежат на одной фазовой траектории, т.е. из одной точки нельзя попасть в другую за конечное время, то они порождают различные фазовые траектории. Совокупность всевозможных фазовых траекторий образует фазовый портрет динамической системы. Изучение

31

фазовых портретов как способа геометрического представления решений обыкновенных дифференциальных уравнений было начато А. Пуанкаре в XIX веке.

Различные фазовые траектории динамической системы, описываемые достаточно гладкими функциями, не пересекаются в фазовом пространстве. В противном случае, выбирая точку пересечения за начальное условие, мы получили бы, что из одной точки начинаются более одной фазовой траектории. А это противоречит теореме Коши о единственности решения соответствующей системы дифференциальных уравнений первого порядка. Строго говоря, теорема Коши имеет локальный характер, т.е. единственность решения гарантируется в некоторой окрестности начальной точки. Кроме того, теорема Коши содержит только достаточные условия существования и единственности решения — при нарушении условий теоремы Коши решение динамической задачи может или не иметь решений, или иметь несколько решений. Тем не менее, считается, что через каждую точку фазового пространства проходит одна и только одна траектория, удовлетворяющая уравнениям Гамильтона (1.3.9). Поэтому фазовый портрет можно представить как фазовое пространство, заполненное непересекающимися фазовыми траекториями. Его можно трактовать как изображение некоторой воображаемой фазовой жидкости, отдельные частицы которой движутся по фазовым траекториям.

Фазовые траектории могут представлять собой отдельные стационарные (особые) точки, замкнутые кривые, отрезки кривых конечной длины, кривые, неограниченные в одну или обе стороны. Траектории, являющиеся точками, отвечают особым, стационарным состояниям динамической системы. Периодическое движение, очевидно, изображается замкнутой фазовой траекторией, обегаемой фазовой точкой за время, равное периоду изменения состояния динамической системы. Устойчивость стационарного состояния или состояния периодического движения означает, что фазовые траектории, близкие к изображающим эти состояния фазовым траекториям, не удаляются от них со временем.

Рассмотрим теперь произвольную динамическую переменную , которая не зависит от времени явно: . Ее значение также изменяется во времени вследствие движения. Скорость такого изменения согласно (1.4.12) определяется равенством

Соотношение (1.5.1) является наиболее фундаментальным уравнением классической механики. С учетом свойства скобок Пуассона (1.4.8) уравнения Гамильтона (1.3.9) содержатся в нем в качестве частного случая.

В этой связи обратим внимание на постановку задачи в динамике. Чтобы получить уравнение (1.5.1) мы считали, что вид динамической переменной , которая задана в некоторый начальный момент времени

32

, остается неизменным с течением времени:

. При этом, независимые переменные — обобщенные

координаты и импульсы удовлетворяют уравнениям Гамильтона.

Однако мы можем сформулировать центральную задачу динамики

если закон движения выражен уравнением (1.5.1). Такая постановка задачи позволит нам в дальнейшем последовательно перейти к решению задач статистической физики. При этом сама формулировка задачи динамики определяется аксиоматикой классической механики, которую мы обсудим в следующем параграфе.

Для решения поставленной задачи обратим внимание, что представление о скобках Пуассона можно использовать для определения класса операторов, действующих на динамические переменные, определенные в фазовом пространстве. В частности, запишем результат

Оператор будем называть оператором Пуассона:

В этих обозначениях соотношение (1.5.1) принимает следующий вид:

Для доказательства справедливости равенства (1.5.5) необходимо

Чтобы доказать равенство (1.5.5), представим решение уравнения (1.5.1) в виде ряда по степеням :

Подставляя (1.5.7) в уравнение (1.5.4), учитывая определение оператора Пуассона (1.5.2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра , нетрудно убедиться, что коэффициенты разложения

удовлетворяют соотношению

что и требовалось доказать.

Теперь мы можем определить оператор

Тогда соотношение (1.5.5), которое дает формальное решение начальной задачи для уравнения (1.5.1), принимает вид

Оператор называют оператором эволюции (оператором Грина).

Он определяет преобразование динамической переменной от начального

для скобок Пуассона и определения (1.5.9) легко убедиться, что

34

Из (1.5.9) непосредственно следует, что при совпадающих моментах времени оператор эволюции равен единичному оператору:

Преобразование эволюции (1.5.10) позволяет аналогичным образом связать два последовательных динамических состояния системы, которые в соответствии с уравнением движения (1.5.4) реализуются в моменты времени

и. Аналогично (1.5.10) запишем

При этом из (1.5.10) и (1.5.13) следует, что

Тогда из (1.5.14) вытекает следующее операторное равенство для любых трех последовательных моментов времени:

Свойство оператора эволюции (1.5.15) непосредственно следует из свойства экспоненты, фигурирующей в соотношении (1.5.9): сложение показателей экспоненты приводит к умножению самих экспонент.

который согласно (1.5.9) и (1.5.14) равен

Таким образом, из уравнения динамики (1.5.1) строго следует замечательное соотношение:

Оператор эволюции , фигурирующий в (1.5.18), описывает эволюцию системы «в обратном времени»:

35

Если в (1.5.13) эволюция системы следует от более раннего момента

прошлое. При этом происходит «возврат» исходного значения динамической переменной к точно тому же значению , которое «в прямом времени» было начальным.

Этот результат, проявляющий детерминистский характер классической механики, является следствием обратимости во времени уравнений динамики, что не противоречит очевидному факту о невозможности повернуть время вспять. Речь идет о возможности, имея результат для динамической переменной в некоторый момент времени, с помощью уравнений классической механики «посмотреть», каково было значение этой динамической переменной в предыдущие моменты времени. Ситуация аналогична возможности «прокрутить» фильм, в котором запечатлен некоторый процесс, в обратном направлении.

Очевидно, обобщенная координата , как и обобщенный импульс , являются частным случаем динамической переменной , поэтому полученные выше результаты в равной степени относятся и к этим величинам.

В результате можно показать, что преобразование эволюции, связанное

этого же пространства. Тем самым, если в качестве базисных координат в фазовом пространстве взяты величины

то преобразованные величины

образуют эквивалентный базис. Рассматриваемые величины в момент времени подчиняются тем же самым уравнениям динамики, что и в начальный момент. Это утверждение является отражением инвариантности законов механики относительно эволюции системы.

36

Тогда имеется следующее совершенно общее соотношение, справедливое для любой динамической переменной:

Иными словами, при преобразовании эволюции, основанном на использовании оператора , произвольная динамическая переменная переходит в ту же самую функцию преобразованных переменных. Таким образом, мы показали, что результаты различных формулировок динамической задачи эквивалентны.

Исходя из единственности решения уравнений Гамильтона, нетрудно

постоянными вдоль любой траектории системы частиц.

Если исключить из этих уравнений зависимость от времени, то останется функций, которые постоянны вдоль фазовой траектории и зависят

движения у системы, которая обладает степенями свободы, равно .

1.6. Аксиоматика классической механики. Принцип наименьшего действия

Как и все точные науки, классическая механика построена аксиоматически. В её основе лежат уравнения движения Ньютона (1.1.1), которые являются обобщением опытных данных о движении материи в форме вещества и рассматриваются как постулат. Сведения о динамике любых механических систем могут быть выведены из этого постулата путём логических операций и строгих математических преобразований. Результаты подобных выводов можно проверить путём измерений и тем самым косвенно подтвердить справедливость исходного положения теории, из которого они вытекают. Прямая же экспериментальная проверка самой аксиомы (1.1.1), которая сформулирована в виде предельно общего и весьма абстрактного утверждения, невозможна.

Как и в других точных науках, система аксиом, лежащих в основе механики, может быть выбрана по–разному. Например, вместо уравнений

37

движения Ньютона (1.1.1) в качестве постулата можно принять уравнения Лагранжа (1.2.1), (1.2.2) (или (1.2.15), (1.2.16)). Тогда уравнения Ньютона окажутся строгим логическим и математическим следствием этого постулата.

В механике известно ещё одно важное утверждение, которое можно использовать в качестве постулата — принцип наименьшего действия. Уравнения Лагранжа оказываются следствием этого постулата.

Рассмотрим динамическую траекторию механической системы, вдоль которой система двигалась в промежутке времени . Поставим этой траектории в соответствие интеграл от функции Лагранжа (1.2.15) по времени в пределах заданного интервала времени:

Величина (1.6.1) называется действием.

С математической точки зрения действие является функционалом от траектории системы , т.е. числом, зависящим от функции — иначе говоря, отображением множества функций на множество чисел (в отличие от функции, которая является отображением множества чисел на множество чисел).

всех этих траекторий только одна является «истинной», т.е. реализуется на самом деле для механической системы. Все остальные траектории являются лишь «виртуальными», т.е. воображаемыми. Принцип наименьшего действия гласит, что действие (1.6.1) минимально для «истинной» траектории.

При использовании этого принципа необходимо учесть, что задача нахождения функций, дающих экстремальное значение интегралу, решается операцией варьирования. Подчеркнем различие между дифференциалом функции и вариацией функции. В то время как дифференциал представляет собой приращение функции при бесконечно малом приращении аргумента, вариация функции означает приращение самой функции, а вариация интеграла — приращение этого интеграла при бесконечно малом изменении вида функций, от которых зависит подынтегральное выражение. Символ варьирования принято обозначать знаком .

38

При этом согласно сформулированному выше условию об общих «точках» начала и конца всех рассматриваемых траекторий вариация удовлетворяет условиям

Соответствующая вариация функционала (1.6.1) равна

Здесь и далее для сокращения обозначений опускаем индексы, нумерующие степени свободы системы, и соответствующие знаки сумм так, как будто бы у системы одна степень свободы. Полные записи легко восстановить.

Подставив (1.6.6) в (1.6.5), получим с точностью до бесконечно малых второго порядка:

Интеграл от второго слагаемого в подынтегральном выражении правой части (1.6.7) вычислим по частям:

39

Первое слагаемое в правой части (1.6.8) равно нулю вследствие условий (1.6.4). Подставляя (1.6.8) в (1.6.7), окончательно получаем:

Для того, чтобы величина действия (1.6.2) была минимальна, необходимо, чтобы выполнялось условие экстремума:

интеграл в (1.6.9) должен равняться нулю при произвольных значениях

.

Это возможно только в том случае, когда выражение, стоящее в фигурных скобках под знаком интеграла в (1.6.9), равно нулю. Утверждение о том, что этот экстремум действия — минимум, примем без доказательства.

Принцип наименьшего действия как утверждение о том, что для реальной траектории системы действие (1.6.1) минимально, может быть положен в основу механики как аксиома. Как мы убедились, из условия минимальности действия следуют «правильные» уравнения механики, следствия из которых полностью адекватны результатам наблюдений. Принцип наименьшего действия является одним из ключевых положений в современной физике.

При использовании принципа наименьшего действия в качестве аксиомы механики необходимо сделать общее замечание. Рассмотрим две функции Лагранжа и , отличающиеся друг от друга на полную временную производную от какой–либо функции координат и времени :

Вычисленные с помощью этих двух функций интегралы (1.6.1), определяющие величину действия, связаны соотношением

40