- •Оглавление
- •Введение
- •1. Аналитическая геометрия и линейная алгебра.
- •Занятие № 5. Линейные пространства.
- •Занятие № 6. Евклидовы пространства.
- •Занятие № 7. Линейные операторы и матрицы.
- •Занятие № 10. Скалярное произведение векторов.
- •Занятие № 11. Векторное и смешанное произведение векторов.
- •Занятие № 12. Прямая на плоскости.
- •Занятие № 13. Кривые второго порядка.
- •Занятие № 14. Преобразование координат на плоскости. Приведение уравнений к каноническому виду.
- •Занятие № 15. Плоскость в пространстве.
- •Занятие № 16. Прямая в пространстве.
- •Занятие № 17. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве.
- •Занятие № 18. Поверхности в пространстве.
- •2. Введение в математический анализ.
- •21.3. Доказать, что последовательность
- •4. Интегральное исчисление функций одной переменной.
- •5. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных.
- •Занятие № 46. Пределы и непрерывность функции нескольких переменных.
- •Занятие № 47. Частные производные и дифференциалы.
- •Занятие № 48. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
- •Занятие № 49. Производная по направлению. Градиент.
- •6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Занятие № 53. Двойные интегралы.
- •Занятие № 55. Приложения двойного интеграла.
- •7. Ряды.
- •8. Обыкновенные дифференциальные уравнения.
- •19.1. A) ; б) ; в) ; г) . 19.2. А) ; б) ; в) ; г) . 19.3. А) четная; б) общего вида; в) нечетная.
- •27.4. Касательная , нормаль . 27.5.
- •Рекомендуемая литература
6. Интегральное исчисление функций нескольких переменных. Занятие № 53. Двойные интегралы.
53.1. Для множества G, ограниченного линиями, или заданного неравенствами, записать двойной интеграл в виде повторных интегралов с разными порядками интегрирования:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) ;
ж) ;
з) .
53.2. Изменить порядок интегрирования в повторных интегралах:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) ; е) ;
ж) ; з) .
53.3. Вычислить двойные интегралы:
54.2. Произведя соответствующую замену, вычислить следующие интегралы:
Занятие № 55. Приложения двойного интеграла.
55.1. Найти площадь области, ограниченной кривыми:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
55.2. Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:
а) ;
б) ;
в) ;
г) ;
д) ;
е) .
55.3. Найти площадь части сферы , заключенной внутри конуса .
55.4. Найти площадь поверхности .
55.5. Найти площадь части цилиндра , отсеченного плоскостями .
Занятие № 56.
Криволинейный интеграл.
56.1. Вычислить криволинейный интеграл первого рода по плоской кривой Г:
56.2. Вычислить криволинейный интеграл второго рода по кривой Г, пробегаемой в направлении возрастания ее параметра x:
7. Ряды.
Занятие № 57.
Числовые ряды.
57.1. Найти сумму ряда:
57.2. Доказать расходимость ряда, используя необходимое условие сходимости:
а) ; б) ; в) ; г) .
57.3. Пользуясь критерием Коши, доказать сходимость ряда:
а) ; б) ; в) ; г) .
57.4. Пользуясь критерием Коши, доказать расходимость ряда:
а) ; б) ; в) ; г) .
Занятие № 58.
Ряды с положительными членами.
58.1. Используя признак сравнения, исследовать на сходимость ряд :
58.2. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Даламбера:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
58.3. Исследовать на сходимость ряд с помощью признака Коши:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
58.4. Исследовать на сходимость ряд с помощью интегрального признака Коши:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
Занятие № 59.
Знакопеременные ряды.
59.1. Доказать сходимость ряда и найти его сумму:
а) ;
б) ;
в)
59.1. Исследовать на абсолютную или условную сходимость знакопеременные ряды:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ;
з) ; и) ; к) .
59.3. Применяя признаки Абеля или Дирихле, исследовать ряды на абсолютную или условную сходимость:
а) ; б) ; в) ; г) .
Занятие № 60.
Функциональные последовательности и ряды.
60.1. Найти предельную функцию для последовательности и построить ее график:
а) ; б) ; в) ;
г) ; д) .
60.2. Исследовать равномерную сходимость последовательности на заданном множестве Е:
а) ; б) ;
в) ; г) .
60.3. Найти область сходимости и область абсолютной сходимости функциональных рядов:
60.4. Доказать равномерную сходимость функционального ряда в указанном промежутке:
60.5. Найти область сходимости степенного ряда:
а) ; б) ; в) ; г) ;
д) ; е) ; ж) ; з) .
60.6. Разложить функцию в степенной ряд с центром в точке и найти радиус сходимости R полученного ряда:
а) ; б) ;
в) ; г ) ;
д) ; е) ;
ж) ; з) ;
и ) ; к) .