Министерство общего и профекиовиьаого обраэовавт

ЧепбшккмЙ государственный технический университет

Кафедра элеюропривода ■ автоматики промышленных установок и ткпюаогичееюга номшнкеов

681^(07) Г245

Р.Х. Гтфяятумнм , B.r.Majpep , В.П.Мацин ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Учеб», пособие

Чыабшкк

Изоатсльство ЧГТУ 1997

УДК 681.51 (075.8) +681.511.2(075.8)

Гафиятуяпин РХ, Маурер ВГ., Мацин В.П. Теория авто­матического управления: Учебное пособие. — Челябинск : ЧГТУ, 1997. — 56с.

Учебное пособие является руководством к выполнению лабораторно-практических занятий по курсу " Теория автоматического управления" (нелинейные системы) для студентов специальности 1804 и включает в себя задания на выполнение и методические указания.

Ил. 20, табл. 1, список лит.— 4 назв.

Одобрено учебно-методической комиссией энергетического факультета.

Рецензенты: Абрамов ГЛ., Петршмв БА.

ШЗН 5-696-00909-3 ^& ИЗДАТЕЛЬСТВО ЧГГУ, ,997.

Глава 1. Дискретные системы автоматического регулирования

РАБОТА 1. СИСТЕМА С ИМПУЛЬСНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

1. Цель работы

Научиться оценивать устойчивость, предельную частоту среза и по­казатели переходного процесса при ступенчатом входном водейстьии замкнутой системы

2. Программа работы

1. По заданным параметрам своего варианта (рис. 1.1.1 , D|=0) по­строить аппроксимированные ЛАЧХ эквивалентной разомкнутой и замк­нутой непрерывной системы с учетом скважности импульсов. Оценить устойчивость системы.

2. Сравнить основные показатели переходных процессов , построен­ных по виду аппроксимированных ЛАЧХ и определенных эксперимен­тально для замкнутой импульсной системы.

3. Определить предельное значение периода следования импульсов , выше которой замкнутая импульсная система становится неустойчивой н сопоставить найденное значение с экспериментальным,

4. Выводы.

3. Методические указания

Наличие в замкнутом контуре регулирования (рис. 1.1.2л) импульс­ного элемента, преобразующего непрерывный сигнал на его входе в се­рию равноотстоящих друг от друга импульсов на выходе , придает систе­ме свойства, качественно отличие от свойств непрерывных систем. Дело в том , что передача информации через импульсный элемент происходит лишь в моменты появления импульсов. в промежутках между импульсами она отсутствует . Особенно ощутима потеря информации , когда период следования импульсов Т_и достаточно велик и соизмерим со временем протекания переходных процессов в элементах непрерывной части си­стемы . При этом замкнутая импульсная система может оказаться не­устойчивой даже в том случае , когда непрерывная часть представлена одним интегрирующим звеном.

3

Рис. 1.1.1. Структурная схема и параметры системы к работе 1

Рис. 1.1 Л. Структурные схемы САУ с импульсным элементом

При математическом описании импульсных САУ реальный импульс­ный элемент (ИЭ) при амплитудно-импульсной модуляции заменяют по­следовательным соединением двух звеньев (рис. 1.1.2.6): идеального им­пульсного звена (ИЗ), имеющего модулированные единичные импульсы на выходе , и формирующего эвена (ФЗ), реакция которого на единич­ный импульс тождественна форме реальных импульсов. При этом сигна­лы на входе и выходе САУ рассматривают лишь в дискретные моменты времени. Такие функции, значение которых вначале каждого периода совпадают со значением исходной непрерывной функции, а в остальное время равны нулю, называют решетчатыми функциями.

Последовательность модулированных импульсов на выходе ИЗ (рис. 1.1.2.6) может быть описана

где х(1Ти)— решетчатая функция соответствующая непрерывной функции x(t);

- последовательность модулированных единичных

импульсов; номера импульсов.

Изображение сигнала х*(|) по Лапласу

и если заменить е на Z, то получим формулу ^-преобразования

дик дискретных значений х :

Вид передаточной функции ФЗ Кф (р) (рис. 1.1.2.6) определяется формой реальных импульсов, которая может быть охарактеризована функцией S_H(t), равной нулю вне интервала 0< t £ Т_и. При этом Кф (р) = S_H(t), так как изображением единичного импульса по Лапласу яв­ляется единица.

6

Для наиболее распространенных прямоугольных импульсов единичной высоты и длительности уТ_и , каждый из которых может быть получен как разность двух ступенчатых функций, смещенных на время уГц« получаем

Бели формирующее звено отнести к непрерывной части (рис. 1.1.2.6),то передаточная функция приведенной непрерывной части САУ приобретает вид

У(р) Кп(р)= — = Кф(р) К_нч(р) .

*(Р) .

Так как реакцией приведенной непрерывное части на единичный

импульс на входа x*(t)=5(t) является функция Леса 0)_п (t) = у (t), a изображение единичного импульса по Далласу равно единице , то передаточная функция К_П(р) представляет собой изображение Лапласа

приведенной функции веса ,тл. Кп(р) = а>_п(р)5у(р) .

В общем случае пропорциональная связь между изображением сигналов x(t) и у(0 в импульсных САУ отсутствует. Однако такая связь существует между изображениями дискретных сигналов x*(t) и y*(t) . Сигнал y*(t) получается из непрерывного штат y(t) при пропускании его через простейшее импульсное звено так .как это показано на рис. 1,1,2а,

Дискретная передаточная функция разомкнутой системы представляет собой отношение дискретных изображений y*(i) и х*(р) :

По аналогии с непрерывными системами , у которых передаточная функция Кр(Р) есть преобразование Лапласа at функции веса Q3(t) , функция KpfZ) равна дискретному изображению выходной величины , представляющей решетчатую приведенную функцию веса 00,,(|Т_И).

7

При определении Кр (Z) вначале по передаточной функции Кп (Р) находят оригинал у (l)=6>n(t) , затем делают переход к решетчатой функции У (' Ти) ⁼ СО (1 Ти) и далее находят Кр (Z) как ^преобразование решет­чатой функции . Эту задачу решают , используя специальные таблицы изображений решетчатой функции ( например , таблицы П.4 и П.5 в [I]). При этом передаточную функцию Кр(Р) представляют в виде суммы пе­редаточных функций эквивалентных согласно-параллельно -соединенных звеньев , параметры которых находит по методу неопределенных коэффи­циентов . В результате дискретная передаточная функция Кр( Z.) подучается путем суммирования дискретны* передаточных функций , определенных для каждого параллельного звена в отдельности.

Допустим , для примера , что непрерывная часть системы содержит одно интегрирующее звено с постоянной времени Т| , а импульсный элемент формирует прямоугольные импульсы шириной уТи, гае 0<г<|-скважность импульсов. В этом случае

Тогда используя таблицы П.4 и П.5 [1], получаем :

От дискретных передаточных функции можно перейти к частотным характеристикам посредством подстановки в них

В отличие от непрерывных САУ частотные характеристики частот­ные характеристики ишгуаьсных систем являются периодическими функ­циями частоты. Попону их следует рассматривать лишь в диапазоне

частот О s Ш s «ы/2 , Где ®и* 2*/Г_н- круп»» частота следования им­пульсов ■ Дяясс частотные хярвктврявтики повторяются.

8

Для рассматриваемого примера импульсной СЛУ, непрерывная часть которой представлена одним интегрирующим звеном .

На комплексной плоскости АФЧХ Кр^-¹® ) представляет собой прямую > отстоящую влево от нтчада координат на величину 'I^^ИIZV^ .

Граница устойчивости замкнутой импульсной САУ, согласно критерию устойчивости Набквиста, будет при прохождении этой прямой через точ­ку (-1 , jO). Отсюда можно получить условие устойчивости :

jflJL< , „да J. <_2_ .

2Т| Ti Ти

Вели заменить импульсную САУ эквивалентной непрерывной систе­мой с передаточной функцией разомкнутого контура К.рЭКВ(р) - у к^ р) _и имеющей эквивалентную частоту среза а_с^э1(В , то для ванного примера

Т,Р

Частоту <в_с^пР^еЯ = 2^_н , зависящую от периода следования импульсов, называют предельной частотой среза эквивалентной непрерывной системы . Тогда условие устойчивости замкнутой импульсной системы приобрета­ет вид

©е™" < а>_спр«Я я 2/Ти .

S рассмотренном примере непрерывная часть представлена одним ин­тегрирующим звеном . В общем случае число типовых звеньев, включен­ных последовательно в контур регулирования, может быть значительно

большим. При этом аналитические зависимости между Юс⁹*^{8 и} парамет­рами непрерывной части становятся громоздкими и непригодными дня практического пользования. В то же время с точки зрения устойчивости системы важными являются не все корни числителя и знаменателя пере­даточной функции К_Р^ЖВ(Р), а лишь те, которые вызывают изломы ха­рактеристики Ьр^экв = Ig КрЭк^Ш) при частотах , удаленных от «Вс³*⁸ не более, чем на одну декаду .

9

Влияние на устойчивость изломов Lp^3rB при <В > Ш_с^экв эквивалентно ' влиянию звена постоянного запаздывания с временем постоянного запаз­дывания , равным сумме постоянных времени апериодических звеньев , определяющих изломы Ьр^экв на высоких частотах , и меньшим периода следования импульсов . Поэтому , если Lp^3KB имеет увеличение отрица­тельного наклона лишь в области высоких частот, определенное выпи условие устойчивости полностью сохраняется . При увеличении отрица­тельного наклона Lp^3KB в диапазоне частот 0.1 Ш_с < <В < ю_с^экв приве­денное выше условие устойчивости следует рассматривать как прибли­женное .

Можно сформулировать следующий приближенный критерий устой­чивости линейных импульсных САУ : если эквивалентная непрерывная система устойчива , то для устойчивости замкнутой импульсной системы достаточно , чтобы частота среза эквивалентной непрерывной системы не превышала частоту , равную 2 У Ти , где Ти - период следования импуль­сов . При использовании ЛАЧХ для оценки устойчивости импульсной САУ достаточно построить точную ЛАЧХ - Ц>^экв , определить частоту среза Юс³™ при Lp³*⁸ = 0 и сопоставить ее с в>_с^{11рзд s} ^ Ти ■ Ваш (В_сэкв <<в_дпред _{f то} замкнутая импульсная САУ устойчива

Если Юс³™ > Cue"!*»* . замкнутая импульсная САУ неустойчива. Пример оценки устойчивости САУ с импульсным элементом дан на рис. 1.1.3 , где граница устойчивости отмечена штриховкой.

Наличие в системе импульсного элемента при' <В_С^ЭКВ < в>_с^пР*'* прак­тически не отражается на гладкой составляюшей переходного процесса выходной координаты САУ , т.е. замкнутая импульсная система ведет себя как эквивалентная непрерывная система с передаточной функцией

Кр( р) = Кр^экв( р) = 1 К_вч( р) . При Шс⁵¹™ > <В_с^Пред наличие в контуре регулирования импульсного элемента приводит к неустойчивости замкну­той САУ в то время .как эквивалентная непрерывная система была бы устойчива . В работе изменение частоты ШсПРЗД достигается пу»ем изме­нения периода следования импульсов Ти импульсного элемента (рис. 3.2. [11).

10

Эквивалентная вмферывнн САУ

Рис. 1.13. Оценка устойчивости САУ с импульсным элементом

II

РАБОТА 2. СИСТЕМА С РЕЛЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ

1. Цепь работы

Изучить особенности динамики замкнутой системы с репейным элементом.