Задача 7

Фірма займається реалізацією продукції на ринках Ка, Кв, Кс і має постійних постачальників П1, П2, П3, П4, П5. Зі збільшенням обсягу продажу і розширенням рину збуту виникає необхідність у будівництві нового розподільчого центру. Визначте оптимальне місце розташування нового розподільчого центру, використовуючи наступні дані:

• тариф на перевезення продукції на склад 1 у.о./т;

• тарифи для клієнтів на перевезення продукції зі складу: - Ка – 0,8 у.о./ткм, Кв – 0,5 у.о./ткм., Кс – 0,6 у.о./ткм;

• середній розмір партії поставки: П1 – 150 т, П2 – 75 т, П3 – 125 т, П4 – 100 т, П5 – 150 т;

• партія поставки клієнтам Ка – 300 т, Кв – 250 т, Кс – 150 т.

Координати	Клієнти			Постачальники
	Ка	Кв	Кс	П1	П2	П3	П4	П5
х	0	300	550	150	275	400	500	600
y	575	500	600	125	300	275	100	650

Розв’язок

Таблиця 7.1

№ п/п	Обєкт	Обсяг вантажопотоку, т (q)	Тариф, у.о./ткм (r)	Координати
				x	y
1	Ка	300	0,8	0	575
2	Кв	250	0,5	300	500
3	Кс	150	0,6	550	600
4	П1	150	1	150	125
5	П2	75	1	275	300
6	П3	125	1	400	275
7	П4	100	1	500	100
8	П5	150	1	600	650

Введемо наступні умовні позначення:

n – кількість постачальників і замовників;

q_i – обсяг вантажопотоку i-го постачальника/замовника, т;

r_i – транспортний тариф i-го постачальника/замовника, у.о./ткм;

x_i, y_i – координати i-го постачальника/замовника;

x₀, y₀ – координати складського комплекса;

d_0i – відстань між складським комплексом і i-м постачальником/замовником.

Необхідно визначити оптимальні значення величин x₀, y₀, при яких буде виконуватись наступна умова:

,

де TC (Total Cost) – сумарні витрати на транспортування, у.о.

Знаходження оптимальних координат x₀, y₀ здійснюється з допомогою алгоритму, який ітераційно сходиться. Кількість ітерацій залежить від необхідного ступеню точності координат.

Алгоритм вирішення задачі методом центру ваги.

Крок 0. Початковий розрахунок величин x₀, y₀:

; .

Таблиця 7.2

№ п/п	Обєкт	xiqiri	yiqiri	qiri
1	Ка	0	138000	240
2	Кв	37500	62500	125
3	Кс	49500	54000	90
4	П1	22500	18750	150
5	П2	20625	22500	75
6	П3	50000	34375	125
7	П4	50000	10000	100
8	П5	90000	97500	150
Сумма		320125	437625	1055

На основі розрахунків, наведених у таблиці 7.2, визначимо початкові значення координат складу:

x₀, = 320125 /1055 = 303

y₀ = 437625 / 1055 = 415

Крок 1. Розрахунок відстані між складським комплексом і постачальниками/замовниками (d₀):

343

85

308

328

118

170

315

379

Крок 2. Розрахунок сумарних витрат на транспортування (див. таблицю 7.3, графа 4):

Крок 3. Повторний розрахунок координат складу (див. таблицю, графи 5-7):

; .

Таблиця 7.3

№ п/п	Обєкт	d0i	qirid0i	xiqiri/d0i	yiqiri/d0i	qiri/d0i
1	2	3	4	5	6	7
1	Ка	343	82320	0	402	0,70
2	Кв	85	10625	441	735	1,47
3	Кс	308	27720	161	175	0,29
4	П1	328	49200	69	57	0,46
5	П2	118	8850	175	191	0,64
6	П3	170	21250	294	202	0,74
7	П4	315	31500	159	32	0,32
8	П5	379	56850	237	257	0,40
Сумма		–	288315	1536	2051	5,00

У відповідності з проведеними розрахунками, визначимо нові координати складу:

x₀ = 1536 / 5 = 307

y₀ = 2051 / 5 = 410

Відзначимо також, що при старих координатах складу (303; 415) сумарні затрати на транспортування, згідно таблиці 7.3 (4 графа), складають ТС = 288315 у.о.

Крок 4. Повторимо кроки 1, 2 і 3 дот тих пір, поки сумарні транспортні витрати ТС не перестануть змінюватись на значиму величину.

348

90

308

325

114

164

365

379

Розрахунок сумарних витрат на транспортування (див. таблицю 7.4, графа 4):

Крок 3. Повторний розрахунок координат складу (див. таблицю 7.4, графи 5-7):

; .

Таблиця 7.4

№ п/п	Обєкт	d0i	qirid0i	xiqiri/d0i	yiqiri/d0i	qiri/d0i
1	2	3	4	5	6	7
1	Ка	348	83520	0	397	0,69
2	Кв	90	11250	417	694	1,39
3	Кс	308	27720	161	175	0,29
4	П1	325	48750	69	58	0,46
5	П2	114	8550	181	197	0,66
6	П3	164	20500	305	210	0,76
7	П4	365	36500	137	27	0,27
8	П5	379	56850	237	257	0,40
Сумма		–	293640	1507	2015	4,92

У відповідності з проведеними розрахунками, визначимо нові координати складу:

x₀ = 1507 / 4,92 = 306

y₀ = 2015 / 4,92 = 409

Результати виконання кроку 4 представлено в таблиці 7.5.

Таблиця 7.5

Номер ітерації	Координати		TC
	xo	yo
0	303	415	288 315
1	307	410	293 640
2	306	409	…

Як бачимо, вже на другій ітерації (координати 307; 410) ми отримали збільшення сумарних витрат. То ж, оптимальним розміщенням складу будуть координати (303; 415).