VI. Сравнение двух средних нормальных генеральных совокупностей, дисперсии которых неизвестны и одинаковы (малые независимые выборки)

Пусть даны две генеральные совокупности ( и , из которых извлечены выборки с объемами и . По данным выборкам найдены соответствующие выборочные средние , и исправленные выборочные дисперсии , . Генеральные дисперсии неизвестны, но предполагаются одинаковыми.

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных средних двух нормальных совокупностей с неизвестными, но одинаковыми дисперсиями (в случае малых независимых выборок) при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия

(32)

и по таблице критических точек распределения Стьюдента, по заданному уровню значимости , помещенному в верхней строке приложения 2, и числу степеней свободы найти критическую точку . Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе , находят критическую точку по таблице приложения2 по заданному уровню значимости , помещенному в нижней строке таблицы, и числу степеней свободы найти критическую точку . Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 3. При конкурирующей гипотезе , находят сначала критическую точку по правилу 2 и полагают . Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Таким образом, критическая область строится в зависимости от вида альтернативной (конкурирующей) гипотезы.

Правило построения критических областей и принятия решений можно записать в виде таблицы:

Таблица №16

Нулевая гипотеза
Конкурирующая гипотеза	а) ; б) ; в) .
Уровень значимости для критерия	(часто или )
Критерий	(предполагается, что генеральные дисперсии неизвестны, но равны)
Критические точки	Зависят от . а) ; б) ; в) находятся по таблице критических точек распределения Стьюдента.
Правило принятия решения	Нулевая гипотеза отклоняется, если: а) ; б) ; в)

Пример 6. Расход сырья на единицу продукции по старой технологии составил (таблица №17):

Таблица №17

Расходы сырья	304	305	306	308
Число изделий	1	3	2	1

По новой технологии (таблица №18):

Таблица №18

Расходы сырья	303	304	306	308
Число изделий	2	6	5	2

Предположив, что соответствующие генеральные совокупности и имеют нормальное распределение с одинаковыми дисперсиями, проверить при уровне значимости гипотезу при альтернативной гипотезе .

Решение.

1. Объемы выборок равны , .

2. Найдем , :

3. Найдем выборочные и исправленные дисперсии

Таким образом, рассматриваемые дисперсии различны, поэтому надо сравнить дисперсии, используя критерий Фишера – Снедекора. Сделаем это приняв в качестве конкурирующей гипотезы .

4. Найдем наблюдаемое значение критерия: . С помощью функции FРАСПОБР( ; ; ) находим . Так как - дисперсии различаются незначимо и, следовательно можно считать, что допущение о равенстве генеральных дисперсий выполняется.

5. Сравним средние, для чего вычислим наблюдаемое значение критерия Стьюдента:

По условию, конкурирующая гипотеза имеет вид , поэтому критическая область – двусторонняя. По уровню значимости и числу степеней свободы с помощью функции Excel СТЬЮДРАСПОБР СТЬЮДРАСПОБР ,т.е. .

Так как - нет оснований отвергнуть гипотезу о равенстве средних. Таким образом при переходе на новую технологию не происходит существенного изменения расхода сырья на одно изделие.

Все расчеты можно оформить в виде расчетной таблицы Excel (таблица №19):

Таблица №19

304	1	303	2	43,4286	40,4000	0,3528	0,5695
305	3	304	6	130,7143	121,6000	0,1399	0,4551
306	2	306	5	87,4286	102,0000	0,0525	0,2904
308	1	308	2	44,0000	41,0667	0,8426	1,1473
	7		15	305,5714	305,0667	1,3878	2,4622
						0,9830	2,6381
				FРАСПОБР(0,05;14;7)
				=
				СТЬЮДРАСПОБР

Задача 6. Из двух партий изделий, изготовленных на двух одинаково настроенных станках, извлечены малые выборки ( ; ). Требуется при уровне значимости проверить гипотезу о равенстве средних размеров изделий при конкурирующей гипотезе . Предполагается, что случайные величины и распределены нормально.

Все расчеты оформить в виде расчетной таблицы Excel

ПРИЛОЖЕНИЯ

Приложение 1

Значения

	0,95	0,99	0,999
5	2,78	4,60	8,61
6	2,57	4,03	6,86
7	2,45	3,71	5,96
8	2,37	3,50	5,41
9	2,31	3,36	5,04
10	2,26	3,25	4,78
11	2,23	3,17	4,59
12	2,20	3,11	4,44
13	2,18	3,06	3,32
14	2,16	3,01	4,22
15	2,15	2,98	4,14
16	2,13	2,95	4,07
17	2,12	2,92	4,02
18	2,11	2,90	3,97
19	2,10	2,88	3,92
20	2,093	2,86	3,883
25	2,064	2,797	3,745
30	2,045	2,756	3,659
35	2,032	2,720	3,600
40	2,023	2,709	3,558
45	2,016	2,092	3,527
50	2,009	2,679	3,502
60	2,001	2,662	3,464
70	1,996	2,649	3,439
80	1,991	2,640	3,418
90	1,987	2,623	3,403
100	1,984	2,627	3,392
120	1,980	2,617	3,374
	1,960	2,576	3,291

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. Учеб. пособие для вузов: М.: Высш. шк., 2001. - 479с.

2. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Учеб. пособие для вузов: М.: Высш. шк., 2001. - 400с.

3. Калинина В.Н., Панкин В.Ф.Математическая статистика: Учебник для студентов сред. спец. учеб. заведений: М.: Высш. шк., 2001. - 336с.

4. Ниворожкина Л.И., Морозова З.А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие. – Москва: ИКЦ «МарТ»; Ростов-н/Д: Издательский центр «МарТ», 2005.- 608с.

5. Законы распределения и предельные теоремы. Элементы математической статистики: Методические указания и тренировочные тесты к курсу «Теория вероятностей и математическая статистика для студентов вечернего отделения»/Сост. В.И. Киршбаум, А.Ю. Смыслов. Самара: СПтИ, 1991. 43с.

5