V.Сравнение двух дисперсий нормальных генеральных совокупностей

Рассмотрим две генеральные совокупности ( и , распределенные нормально. Из них извлекаются две независимые случайные выборки с объемами и . Для каждой выборки найдены исправленные выборочные дисперсии:

(28)

(29)

Требуется сравнить эти дисперсии, т.е. проверить нулевую гипотезу . В качестве проверки этой гипотезы применяется статистика (наблюдаемое значение критерия):

( ), (30)

которая при условии справедливости нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора со степенями свободы и .

Правило 1. Для того чтобы при заданном уровне значимости проверить нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий нормальных совокупностей при конкурирующей гипотезе , надо вычислить наблюдаемое значение критерия по формуле (24) (отношение большей исправленной дисперсии к меньшей) и по таблице критических точек распределения Фишера-Снедекора, по заданному уровню значимости и числам степеней свободы , ( - число степеней свободы большей исправленной дисперсии) найти критическую точку . Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Правило 2. При конкурирующей гипотезе критическую точку ищут по уровню значимости (вдвое меньшему заданного) и числам степеней свободы и ( - число степеней свободы большей исправленной дисперсии). Если - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу. Если - нулевую гипотезу отвергают.

Алгоритм построения критических областей можно записать в виде таблицы №12:

Таблица №12

Нулевая гипотеза
Конкурирующая гипотеза	а) ; б)
Уровень значимости для критерия	(часто или )
Критерий	( )
Критические точки	Зависят от . а) ; б) ; находятся по таблице критических точек Фишера-Снедекора.
Правило принятия решения	Нулевая гипотеза отклоняется, если: а) ; б) .

Пример 5. Для сравнения точности двух станков-автоматов взяты две пробы (выборки), объемы которых и . В результате измерения контролируемого размера отобранных изделий получены следующие результаты:

Таблица №13

	1,08	1,10	1,12	1,14	1,15	1,25	1,36	1,38	1,40	1,42
	1,11	1,12	1,18	1,22	1,33	1,35	1,36	1,38

Можно ли считать, что станки обладают одинаковой точностью ( ), если принять уровень значимости и в качестве конкурирующей гипотезы .

Решение.

1. Найдем выборочные средние и по формуле:

(31)

.

2. Вычислим исправленные дисперсии по формулам (28), (29):

;

;

.

3. Найдем , т.е. отношение большей исправленной дисперсии к меньшей:

; ;

.

4. По таблице или с помощью встроенной функции Excel (статистические) FРАСПОБР( ; ; ), по уровню значимости и числам степеней свободы и находим критическую точку

.

5. Так как - нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу о равенстве генеральных дисперсий.

6. Расчетная таблица:

Таблица №14

1,08	1,11	0,00256	0,00267
1,10	1,12	0,00196	0,00232
1,12	1,18	0,00144	0,00073
1,14	1,22	0,00100	0,00016
1,15	1,33	0,00081	0,00068
1,25	1,35	0,00001	0,00110
1,36	1,36	0,00144	0,00135
1,38	1,38	0,00196	0,00191
1,40		0,00256
1,42		0,00324
12,40	10,05	0,01698	0,01092
1,24	1,25625	0,01887	0,01248
	10		1,51128
	8	FРАСПОБР( ; ; ),	3,67667

Задача 5. Двумя методами проведены измерения одной и той же физической величины. Получены следующие данные и . Можно ли считать, что оба метода обеспечивают одинаковую точность измерений, если принять уровень значимости ?

Таблица №15

10,2	9,8
15,2	15,1
20,2	19,9
25,2	24,9
30,2	29,7
35,2	35,7
40,2	39,9
	23,9