III. Вычисление групповых и общих средних, групповой, внутригрупповой, межгрупповой дисперсии и общей дисперсии
Пусть некоторая
совокупность объема
разбита на части – на
непересекающихся групп, не обязательно
одинаковых по объему. Группы называются
непересекающимися, если каждый вариант
принадлежит только одной группе. Для
каждой группы вариантов можно вычислить
средние, которые называются групповыми
средними
(
).
Пусть
- количество вариант соответственно в
1-ой, 2-ой, …,
-ой
группах;
- количество вариант всей совокупности;
- объемы данных групп.
Групповая средняя
- ой группы (
)
вычисляется по формуле
(17)
Общей средней называется средняя арифметическая всей совокупности:
(18)
Общую среднюю можно выразить через групповые средние:
, (19)
где
- объем
-ой
группы.
Если численности всех групп одинаковые, то общая средняя может быть получена и как простая средняя из групповых средних
(20)
Дисперсия для
распределения вариантов
-ой
группы относительно их групповой средней
называется групповой
дисперсией
и
вычисляется по формуле:
, (21)
где
- номер группы,
- значения вариант группы (
),
- частоты значений
,
- групповая средняя
-ой
группы,
- объем
-ой
группы.
Дисперсия по этому
же признаку всей совокупности относительно
общей средней называется общей
средней
(
).
Групповые средние ( ) могут не совпадать с общей средней ( ).
Мерой колеблемости
групповых средних (
)
вокруг общей средней (
)
является межгрупповая
дисперсия
(
),
которая вычисляется по формуле:
. (22)
Межгрупповая дисперсия характеризует систематическую вариацию, которая возникает под влиянием фактора, признака, положенного в основе группировки.
Для характеристики
среднего рассеяния признака внутри
групп из групповых дисперсий может быть
найдена их средняя арифметическая,
взвешенная по объемам групп, которая
называется внутригрупповой
дисперсией
(
)
и вычисляется по формуле:
. (23)
Внутригрупповая дисперсия характеризует случайную вариацию в каждой отдельной группе. Она возникает под влиянием других, неучитываемых факторов и не зависит от условий (или признака-фактора), положенных в основу группировки.
Общей дисперсией
(
)
называют дисперсию значений признака
всей совокупности относительно общей
средней:
, (24)
где - частота значения , - общая средняя, - объем всей совокупности.
Между общей дисперсией, внутригрупповой и межгрупповой дисперсией существует связь, определяемая теоремой.
Теорема (правило сложения дисперсий). Если совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.
(25)
Пример 3. Дано распределение рабочих предприятия по заработной плате в разрезе цехов:
Таблица №6
Заработная плата (в тыс. руб.) |
7-8 |
8-9 |
9-10 |
10-11 |
11-12 |
12-13 |
Цех 1 |
7 |
12 |
15 |
6 |
0 |
0 |
Цех 2 |
1 |
5 |
9 |
18 |
12 |
5 |
Цех 3 |
0 |
0 |
4 |
8 |
32 |
16 |
Вычислить средние заработные платы рабочих в каждом цехе и по предприятию. Вычислить дисперсии по цехам (групповые дисперсии) и по предприятию (общую дисперсию). Проверить правило сложения дисперсий.
Решение.
Найдем объемы групп
и объем всей совокупности
и частоты
для значений
относительно всей совокупности (столбец
«Всего»).
;
;
;
.
Найдем значения представителей интервалов по формуле:
,
где
- начало интервала,
- конец интервала.
;
;
;
;
;
.
Число
вариант в каждой группе
.
Вычислим групповые средние (формула (17)) и общую среднюю (формулы (18) и (19)).
Число вариант в каждой группе .
;
;
;
;
.
Вычислим групповые дисперсии (формула (21)) и общую дисперсию (формула (24)):
;
Вычислим внутригрупповую (формула (23)), межгрупповую (формула (22)) и общую (формула (25)) дисперсии:
;
.
Этапы решения задачи оформим в виде расчетных таблиц №7 и №8(все расчеты выполним в табличном процессоре Excel):
Таблица №7
Заработная плата (в тыс.руб.) |
Цех 1 ( ) |
Цех 2 ( ) |
Цех 3 ( ) |
Всего |
|
(цех 1) |
(цех 2) |
(цех 3) |
(вся сов.) |
|
||||||||||
70,00 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
80,00 |
7,00 |
1,00 |
0,00 |
8,00 |
75,00 |
13,13 |
1,50 |
0,00 |
4,00 |
|
||||||||||
90,00 |
12,00 |
5,00 |
0,00 |
17,00 |
85,00 |
25,50 |
8,50 |
0,00 |
9,63 |
|
||||||||||
100,00 |
15,00 |
9,00 |
4,00 |
28,00 |
95,00 |
35,63 |
17,10 |
6,33 |
17,73 |
|
||||||||||
110,00 |
6,00 |
18,00 |
8,00 |
32,00 |
105,00 |
15,75 |
37,80 |
14,00 |
22,40 |
|
||||||||||
120,00 |
0,00 |
12,00 |
32,00 |
44,00 |
115,00 |
0,00 |
27,60 |
61,33 |
33,73 |
|
||||||||||
130,00 |
0,00 |
5,00 |
16,00 |
21,00 |
125,00 |
0,00 |
12,50 |
33,33 |
17,50 |
|
||||||||||
Всего |
40,00 |
50,00 |
60,00 |
150,00 |
|
90,00 |
105,00 |
115,00 |
105,00 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Таблица №8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
39,38 |
18,00 |
0,00 |
48,00 |
97,33 |
100,00 |
197,33 |
|
|
|
|
||||||||||
7,50 |
40,00 |
0,00 |
45,33 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
9,38 |
18,00 |
26,67 |
18,67 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
33,75 |
0,00 |
13,33 |
0,00 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0,00 |
24,00 |
0,00 |
29,33 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
0,00 |
40,00 |
26,67 |
56,00 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
90 |
140 |
66,67 |
197,33 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Задача 3. Трое рабочих изготовляли одинаковые детали. Каждый из них изготовил по 70 деталей. Для контроля составлены распределения изготовленных каждым рабочим деталей по их размеру. Точность измерения 0,01. Поле допуска 50,04-50,28мм. Сравнением распределений выяснить, какой рабочий работает лучше.
Таблица №9
Интервалы |
I |
II |
III |
50-50,04 |
2 |
0 |
3 |
50,04-50,08 |
6 |
2 |
8 |
50,08-50,12 |
9 |
5 |
16 |
50,12-50,16 |
26 |
9 |
9 |
50,16-50,2 |
14 |
14 |
4 |
50,2-50,24 |
7 |
19 |
13 |
50,24-50,28 |
5 |
8 |
11 |
50,28-50,32 |
1 |
5 |
4 |
50,32-50,36 |
0 |
5 |
2 |
50,36-50,4 |
0 |
2 |
0 |
50,4-50,44 |
0 |
1 |
0 |
Всего |
70 |
70 |
70 |
Все расчеты выполнить в табличном процессоре Excel и оформить в виде расчетных таблиц.