4. Теорема о полной вероятности

Пусть дано вероятностное пространство (, œ, Р), событие А œ, происходит тогда и только тогда, когда происходит одно из событий Н1, Н2, …Нn – образующих полную группу событий.

n

Р(А) =  Р(Нi) Р(А/Нi)

i=1

В этом случае выражение

называется формулой

полной вероятности

Нi – гипотеза, Р(Нi) априорные (доопытные) вероятности гипотез.

Доказательство: А=А = А(Н1 U Н2 U … U Нn) = АН₁ U

 А Н₂ U … U А Н_n

несовместны

По As3 Р(А) =  Р(А Нi) =  Р(Нi) Р(А/Нi)

i=1n i=1n

Пример: Два станка выпускают радиодетали. Производительность первого в три раза больше второго. Вероятность брака у первого – 0,2; у второго – 0,1. Найти вероятность того, что первая наудачу взятая деталь годная.

Решение: Примем событие А – взятая деталь годная.

Сформулируем гипотезы:

Н1 – деталь изготовлена 1 станком;

Н2 – деталь изготовлена 2 станком;

Р(А/Н1) = 1-0,2 = 0,8 – вероятность того, что годная деталь сделана на первом станке.

Р(А/Н2) = 0,9– вероятность того, что годная деталь сделана на первом станке.

 Нi = 1, поэтому: Р(Н1) = ¾, Р(Н2) = ¼ .

Р(А) = Р(Н1) Р(А/Н1) + Р(Н2) Р(А/Н2) = 8/10 ¾ + 9/10 ¼ = 33/40.

5. Формула Байеса

В условиях предыдущих рассуждений предполагаем, что событие А произошло. В ряде случаев требуется найти по параметрам события А вероятности гипотез, с тем чтобы определить какая из гипотез явилась причиной события.

Р (Нi/А), i=1,n – называются апостериорными (послеопытными) вероятностями гипотез.

Р (А Нi) = Р(Нi) Р(А/Нi) Р(А) Р(Нi/А) = Р(Нi) Р(А/Нi)

Р(А Нi) = Р(А) Р( Нi/А)

Формула

Байеса

Рассмотрим пример из предыдущего параграфа, предположим что событие А произошло – деталь годная.

Найдём апостериорные вероятности гипотез 1 и 2.

8 3

Р(Н1) Р(А/Н1), 10 4 8

Р (Н1/А) = = =

Р(А) 33 11

40

9 1

Р(Н2) Р(А/Н2), 10 4 3

Р (Н2/А) = = =

Р(А) 33 11

40

Формулы Байеса (для всех гипотез опыта) имеют большое теоретическое и практическое значение в приёме и анализе информации.