§ 3.4. Математический аппарат теории вероятности и прикладной статистики

1. Основные понятия теории вероятности и прикладной статистики

Все операции классифицируются на:

1. Детерминированные – когда каждой совокупности управляемых характеристик (решений) соответствует свой ПИО.

2. Вероятностные – для каждого решения значение ПИО можно предсказать (вычислить с определённой вероятностью по известному закону распределения значений ПИО в зависимости от значений Х).

3. Неопределённые – когда для каждого решения можно предсказать лишь диапазон значений ПИО.

Объектом теории вероятности являются последние два вида операций. Это наука, изучающая закономерности случайных массовых явлений. Предметом теории вероятности является математический анализ случайности, мерой которой является вероятность. Эта теория учит как по вероятностям одних событий находить вероятности других.

Общую структуру предмета теории вероятности можно представить следующим образом (рис. 3.8):

Основные направления исследования

Рис. 3.8. Структура теории вероятности

Случайные события

Случайное событие – называется событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти.

С научной точки зрения случайным событием А называется любое подмножество элементарных событий, такое что выполняется условие:

Если   А – то событие произошло.

Если  А – то событие А не произошло,

где ω – мыслимые исходы опыта из пространства элементарных событий (ПЭС). Пример с выпадением очков при игре в кости (чётные, кратные трём и т.д.)

Случайное событие А - называется достоверным событием, если в результате опыта оно обязательно произойдёт .

Случайное событие А – называется невозможным, если в результате опыта оно не произойдёт .

Два события называют несовместимыми, если их произведение есть невозможное событие. В противном случае события совместимые.

Частотой (относительной) частотой события А называется отношение числа испытаний, в которых А произошло к общему числу испытаний:

m

W =

n

Частота события обладает важным свойством – свойством устойчивости. Оно выражается в том, что при неограниченном увеличении числа испытаний n  , частота события W(А) всё меньше и меньше отклоняется от некоторого постоянного числа, которое и принимают за вероятность события А: Р(А).

Вероятностью события А – называют число, около которого колеблется частота события при неограниченном количестве числа испытаний.

Р(А)  lim W(А)

n

Пусть дано конечное пространство элементарных событий, причём все элементарные события равнозначны.

Р(ω1) = Р(ω2) = Р(ωn) = 1/n. Пусть А = { ωi1, ωi2,…,ωik }. Будем называть эти события, благоприятствующими событию А.

Вероятностью события А называется отношение числа элементарных событий, благоприятствующих А к общему числу испытаний.

df

Р(А) = k/n

Вероятностью события А – называется число, удовлетворяющее следующим аксиомам:

Р(А)  0 (неотрицательность).

Р() = 1 (нормировка), где  - достоверное событие.

Если А·В = 0 и А и В несовместимые события, то

Р(АUВ) = Р(А) + Р(В);

Следствия из аксиом:

1)Р(0) = 0. 2)0 Р(А)1.

3)Р(Ā) = 1- Р(А), А =  ·А; А U А = .