Случайные величины
4. Дискретная случайная величина
Рассмотрим конечное вероятностное пространство (, œ, Р).
Числовая функция X=x() где называется случайной величиной. Обозначается случайная величина (СВ): ξ , , X, Y, Z.
Пример: Пусть бросается игральная кость i – число выпавших очков.
= (1,2,3,4,5,6). В качестве случайной величины Х – число выпавших очков x(i) = i.
Если число значений, которые может принимать случайная величина конечно или счётно, то она называется дискретной случайной величиной (ДСВ). В рассмотренном примере СВ – дискретная, так как она принимает только 6 значений.
Пусть имеется СВ X(), принимающая значения х1, х2, … хn. Это значит, что в условиях данного опыта могут произойти события (Х=х1), (Х=х2), (Х=хn). Они несовместны, они также образуют полную группу событий (одно из них обязательно произойдёт). Если обозначить Р(Х=хi)=Рi,
n
то Рi = 1
i=1
СВ считается заданной если указан закон, по которому каждому событию ставится в соответствие вероятность его проявления.
Законом распределения ДСВ называется соотношение устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.
ДСВ задаётся: таблицей, графиком, функцией (аналитически).
1. Таблица
-
Х
Х1
Х2
Хn
Р
Р1
Р2
Рn
2. График
Р
1
Р3
Р4
Р2
Р1
х1 х2 х3 х4 Х
3. Аналитически (формулой)
k k (n-k)
Рn( k) = Cn. p q формула (схема) Бернулли
Замечание: Любую константу рассматривают как частный случай ДСВ, такая ДСВ называется вырожденной.
Простейший пример невырожденной ДСВ – индикатор.
1, А – влечёт А;
Ха () = _
0, А – не влечёт А.
Свойства индикатора: 1) Х = 0, 2) Х = 1, 3) Хав = Ха – Хв.
В теории вероятностей, часто рассматриваются случайные величины, заданные законом распределения без задания вероятностного пространства.
В случае, когда вероятностное пространство содержит счётное ПЭС, то таблица в законе распределения случайной величины будет бесконечной.
-
Х
Х1
Х2
…
Хn
Р
Р1
Р2
…
Рn
5. Функция распределения случайной величины и её свойства
Функция Р(х Х) называется функцией распределения СВ Х.
Обозначается Р(х Х) = F(x).
Свойства функции распределения:
1) F(-∞)= lim F(x) = 0
х → -∞
2) F(∞)= lim F(x) = 1 (событие х Х) – достоверное.
х → ∞
3) Если х1 х2, тогда
(х х2) = (х х1) + (х1 Х х2).
Р(х х2) = Р(х х1) + Р(х1 Х х2)
Р(х1 х х2) = Р (х х2) – Р(х х1) = F(x2) – F(x1).
Функция распределения монотонно возрастает.
4) Функция распределения непрерывна слева F(x-0) = F(x).
Таким образом, функция распределения СВ, имеет вид (рис. 3.10):
0, если х х1.
Р1, если х1 х х2.
Р1 + Р2, если х2 х х3.
F(x) = Р1 + Р2 + Р3, если х3 х х4.
……………………………….
1, если х х n
х1 х2 …….. х n
Рис. 3.10. Графическое представление функции распределения СВ
Пример: Два прибора работают независимо. Вероятность отказа 0,4. Найти ряд распределения и функцию распределения числа отказавших приборов.
Х - число отказавших приборов.
-
Х
0
1
2
Р
0,36
0,48
0,16
k k (n-k) 1 1 1
Р2( 1) = Cn. p q = С2 р q = 2·0,4·0,6 = 0,48.
Рi = 0,36 + 0,48 + 0,16 = 1.
0, если х 0.
F(x) = 0,36, если 0 х 1.
0,84, если 1 х 2.
1, если х 2.