1. Толщина пластины значительно меньше остальных размеров;

2. Деформирующие усилия приложены в срединной плоскости пластины.

Компоненты напряженного состояния малы по сравнению с другими составляющими, т.к. основание пластины свободно от нагрузок, а толщина пластины h мала по сравнению с поперечными размерами. По этой же причине компоненты мало изменяются по толщине и поэтому могут считаться независящими от координаты z . Поэтому тензоры напряжений и деформаций при ПНС имеют вид:

,

причем функции зависят только от двух координат. Условие пластичности Треска-Сен-Венана принимает следующий вид:

, если (7.2)

или , если

Условие Губера-Мизеса при любых соотношениях главных напряжений имеет вид:

(7.3)

Плоское напряженное состояние имеет место в некоторых процессах листовой штамповки, хотя известны примеры его использования для расчетов процесса прокатки слябов вертикальными валками при осо-

бом условии пластичности [41].

Под плоским деформированным состоянием (ПДС) понимается такой вид НДС, когда поля напряжений и деформаций в сечениях, перпендикулярных некоторой оси, одинаковы. Поэтому достаточно определить их в одном сечении, и они будут известны во всем теле. Возникает ПДС при выполнении следующих 4-х условий:

1. Размеры деформируемого тела в направлении одной из осей

значительно превышают его размеры в остальных направлениях;

2. Тело нагружено уравновешенной системой сил, приложенных к его поверхности, и не изменяющихся вдоль большего размера;

3. Перемещения вдоль большего размера тела отсутствуют;

4.Сечения тела, перпендикулярные большему размеру, при деформи-

ровании не искривляются (т.н. депланация сечений отсутствует).

Условия возникновения ПДС показаны на рис.7.7.

Рисунок 7.7 − Плоское деформированное состояние

В каждом сечении, параллельном плоскости XOY, деформации

и скорости деформаций будут одинаковыми в сходственных точках. Вдоль оси z деформация отсутствует ( =0). Но напряженное состояние будет объемным, т.к. . Благодаря тому, что есть нормальные напряжения , нет и . Поскольку сечения XOY не депланируются, то и является главным напряжением.

Переход в пластическое состояние по условию Треска-Сен-Венана происходит при:

(7.4)

где .

При условии несжимаемости среды такой же вид для ПДС имеет

и условие Губера-Мизеса, но .

Некоторые, весьма распространенные процессы ОМД, такие как прокатка широких листов на гладкой бочке, протяжка плоскими бойками и др. имеют НДС, весьма близкое к ПДС. Поэтому этот вид НДС довольно широко применяется в практике расчетов и его следует рассмотреть подробнее.

7.5 Особенности плоского деформированного состояния

Будем считать среду идеально-жесткопластической. Тогда по теории течения:

Отсюда следует, что . Используя (2.36), находим: (7.5)

Подставив это в условие (6.8), получим (7.4). Поскольку напряжения не зависят от координаты z, то уравнения равновесия упрощаются:

(7.6)

Следовательно, для определения трех неизвестных имеем три уравнения (два равновесия и одно – условие пластичности). Поэтому формально задача для напряжений плоской деформации считается статически определимой. Фактически это не так, поскольку границы пластической области не определены и чтобы их найти, следует использовать (7.4).

Кинематические уравнения по теории течения находятся следующим образом. Для плоской деформации (6.17) приобретают вид:

(7.7)

Вычтя из и разделив на , получим:

(7.8)

Выразив скорости деформаций через скорости течения по (3.43) и добавив уравнение несжимаемости (4.3) в форме для плоской задачи, получим уравнения для скоростей плоского деформированного состояния (7.9):

(7.9)

Уравнения (7.7) не могут быть использованы, т.к. они требуют граничных условий в виде скоростей деформаций, которые не поддаются измерению, тогда как скорости течения являются величинами измеримыми.

В результате совместно с (7.4) и (7.6) имеем систему из 5 уравнений для 5 неизвестных функций: , . При смешанных граничных условиях необходимо совместное решение этой системы. Если же известны статические граничные условия и границы пластической области, то возможно вначале найти поле напряжений при помощи (7.4) и (7.6), а затем поле скоростей по (7.9).

Напряженное состояние при плоской деформации обладает следующей особенностью. Поскольку является главным напряжением, то, сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси z (рис.7.8), является главной площадкой. Положение двух других главных площадок, параллельных оси z, можно найти по формуле, следующей из (2.24):

, (7.10)

где - угол между главной осью 1 и осью x (рис.7.9).

Т.о. при ПДС не нужно решать систему уравнений для опре-деления направления главных напряжений; оно находится по простой формуле.

Рисунок 7.8 − Положение главных площадок при ПДС

Столь же просто можно найти и величину главных напряжений, используя (2.21) и (7.5):

(7.11)

Знак (+) определяет , а знак (-) - . Напряжение = .

Из (7.11) следует, что наибольшее касательное напряжение:

(7.12)

Поэтому . Следовательно, напряженное состояние при ПДС есть сумма чистого сдвига с касательным напряжением и всестороннего растяжения или сжатия со

средним нормальным напряжением .

Тот факт, что напряженное состояние при ПДС можно предста-

вить как сумму двух простейших напряженных состояний (рис.7.9), позволяет решать задачи плоской деформации сравнительно простыми методами.

Рисунок 7.9 − ПДС как сумма двух НДС