5.11 Функция напряжений*

Для решения плоской задачи в напряжениях необходимо интегрировать систему из 3-х уравнений при соответствующих граничных условиях. Оказывается, однако, что вместо определения трех функций σ_х, τ_ух, σ_у можно найти только одну, т.н. функцию напряжений, а компоненты σ_ij затем определить дифференцированием этой функции.

Функция напряжений F, называемая также функцией Эри, опре-деляется следующим образом:

(5.35)

Такая функция должна существовать, т.к. при подстановке (5.35) в уравнения равновесия получаются тождества:

Для определения вида уравнения, которому удовлетворяет функция напряжений, подставим (5.35) в уравнение Леви. Получим:

(5.36)

Уравнение (5.36) известно как бигармоническое: . Следовательно, решение плоской задачи теории упругости сводится к нахождению решения бигармонического уравнения, которое удовлетворяет и статическим условиям на контуре.

Применение функции напряжений особенно эффективно при решении задач обратным или полуобратным способом, т.к. при этом уравнения равновесия и совместности будут удовлетворяться тождественно и, следовательно, остается только подобрать подходящее поле σ_ij. В качестве примера рассмотрим задачу об определении поля напряжений в прямоугольной пластине, находящейся в плоском деформированном состоянии. Зададимся функцией напряжений в виде полинома 3-й степени:

Тогда напряжения выразятся линейными функциями:

Проверьте, что такая функция напряжений удовлетворяет бигар-моническому уравнению:

При различных значениях коэффициентов а, в, с, d получаются различные виды граничных условий:

1) а ≠ 0; в = с = d = 0; σ_х = 0; σ_у = ах; τ_ху = 0;

Нагружение показано на рис. 5.5а.

2) а = в = с = 0; d ≠ 0; σ_х = dу; σ_у = 0; τ_ху = 0

Нагружение представлено на рис. 5.5б.

3) а = d = с = 0; в ≠ 0; σ_х = 0; σ_у = ву; τ_ху = – вх

Нагружение на рис. 5.5в (σ_у,τ_ху условно показаны на разных объемах).

4) а = в = d = 0; с ≠ 0; σ_х = сх; σ_у = 0; τ_ху = –су

Нагружение – на рис. 5.5г.

а) б)

в) в)

г)

Рисунок 5.5 − Различные виды нагружений при ПДС

Используя принцип суперпозиции, можно комбинировать различные виды нагружений для получения заданного распределения напряжений на границе путем видоизменения коэффициентов a,b,c и d. Это, одновременно, дает и решение задачи.

Если для аппроксимации граничных условий необходимы нелинейные зависимости (квадратические, кубические и т.д.), то необходимо в качестве функции напряжений брать полиномы более высокого порядка (четвертого, пятого и т.д.).

Для решения задач с непрямоугольной формой области можно воспользоваться методом конформных отображений [18]. По форме области после деформации разыскивается определенными методами функция комплексного переменного, конформно отображающая данную область на прямоугольник вместе с граничными условиями. Решается задача для прямоугольной области, а затем производится обратное преобразование полученных функций для компонент σ_ij.

Для решения прямой задачи при помощи функции напряжений нужно иметь для нее граничные условия. Они находятся при помощи т.н. «стержневой аналогии» [10]. Зная приложенные к контуру тела нагрузки, можно определить значение функции напряжения F и ее нормальной производной ∂F/∂n как изгибающий момент и продольную силу в стержне, охватывающем контур поперечного сечения тела, разрезанном в произвольном сечении.