2.17 Уравнения равновесия в общем случае *
В общем случае, когда напряжения распределяются по элементарным площадкам неравномерно, при выводе уравнений равновесия нужно учитывать не только (2.13), но и (2.16), поскольку объемы должны находиться в равновесии как относительно поступательного, так и вращательного движений. Поэтому к системе (2.48) добавляются еще 3 уравнения, следующие из (2.16):
Отсюда видно, что в общем случае σij ≠ σji . Следовательно, учет моментных напряжений приводит к необходимости использовать несимметричный тензор напряжений σij и также несимметричный тензор моментных напряжений mij, что делает математические трудности решения задач МСС еще более значительными. Однако эти проблемы, как уже указывалось, возникают только при решении тех задач, в которых поля напряжений имеют значительные градиенты.
2.18 Краевая задача статики сплошной среды
Для определения поля напряжений {σij} в некоторой области W нужно знать, кроме уравнений (2.48), условия на границах (поверхности) этой области (распределение ) и совокупность условий, определяющих начальное состояние тела (в момент времени τ = 0). Совокупность начальных и граничных условий вместе с дифференциальными уравнениями составляют т.н. краевую задачу.
Начальные условия при ОМД обычно считаются тождественно равными нулю (положение о «естественно–ненапряженном состоянии тела»). Граничные условия в виде распределения по поверхности должны быть заданы, а связь с компонентами тензора напряжений, входящими в уравнение равновесия, задается соотношениями Коши (2.8). Поэтому они иногда называются еще «статическими граничными условиями».
В классической постановке задачи, когда σij считается симмет-ричным, для 6 компонент σij имеем только 3 уравнения равновесия. Т.о. задача статики является недоопределенной и решить ее в напряже-ниях невозможно.
В общем случае для 9 компонент σij и 9 компонент mij имеем 3 уравнения (2.40) и еще 3 уравнения (2.41). Следовательно, степень не-определенности системы уравнений еще больше. Поэтому говорят о статической неопределимости задач МСС. Для определения поля напряжений в области даже при известных граничных условиях одних статических уравнений (уравнений равновесия) недостаточно. Физи-чески это означает, что при одной и той же системе нагрузок статичес-кое равновесие возможно в разных вариантах (т.е. при разных полях
{σij}).
Эта многовариатность обусловлена различием в физических свойствах сплошных сред. Поэтому для решения задач о напряженном состоянии тела необходимо привлекать дополнительные соотношения, выражающие связи статических и кинематических параметров сплошной среды с ее свойствами.
Контрольные вопросы к гл. "Статика сплошной среды"
1. Что называется напряжением в точке?
2. Что называется напряженным состоянием в точке и чем оно
отличается от напряжения в точке?
3. Зачем нужны соотношения Коши?
4. Чем нормальное напряжение отличается от касательного?
5. Каковы компоненты напряженного состояния в точке? Изобразите их на гранях элементарного куба.
6. Как индексируются напряжения?
7. Как устанавливаются знаки нормальных и касательных напряжений?
8. Что называется тензором напряжений?
9. Когда тензор напряжений можно считать симметричным?
10.Сформулируйте "закон парности" касательных напряжений.
11.Какой вид имеет характеристическое уравнение тензора напряже- ний?
12.Что называется базисными инвариантами тензора?
13.Какие оси называются главными?
14.Какие напряжения и площадки называются главными?
15.Каковы свойства главных напряжений?
16.Как определяются величина и направление главных напряжений?
17.Как найти величины и направления нормального и касательного
напряжений на произвольно ориентированной площадке?
18. По каким площадкам действуют максимальные касательные напря- жения?
19.Почему максимальные касательные напряжения нельзя считать главными касательными напряжениями?
20.Чему равна величина максимальных касательных напряжений?
21.Что называется гидростатическим напряжением?
22.Зачем тензор напряжений разлагают на шаровой и девиатор?
23.С чем связаны названия "шаровой тензор" и "девиатор"?
24.Чему равен первый инвариант девиатора напряжений?
25.Как строится диаграмма Мора?
26.Какие площадки называются октаэдрическими?
27.Чему равны октаэдрические касательные напряжения?
28.Что называется интенсивностью напряжений?
29.Что характеризуют интенсивности напряжений?
30.Зачем нужны уравнения равновесия?
31.Записать уравнения равновесия в тензорной и координатной
формах.
32. Какой вид имеют уравнения равновесия в цилиндрической и
сферической системах координат?
33.Как формулируется краевая задача статики сплошной среды?
34.Почему в общем случае краевая задача ОМД является статически неопределимой?