Тема 1. Основные понятия инженерной реологии

1.1 Основные положения механики сплошных сред

Вопросы

Ответы

1. Что является основой реологии?

В основе реологии, как науки о течениях и деформациях материалов, лежит классическая механика сплошных сред, основными задачами которой является изучение состояния и поведения различных материалов с геометрических (деформации), кинематических (скорости деформаций) и динамических (напряжения) позиций.

2. Что происходит внутри физического тела при приложении к нему внешней нагрузки

В процессе обработки пищевое сырье и полуфабрикаты подвергаются внешним механическим и другим видам воздействий, в результате которых внутри тел в любой их точке возникают динамические состояния, характеризуемые определенной физической величиной, называемой напряжением. Напряжения возникают только внутри вещества и обуславливаются силами, действующими в данный момент на тело.

Кроме того, напряжения могут возникать внутри физических тел вследствие неоднородности температурного поля или как предыдущая «память» от термической или механической обработки материала.

3. Что понимается под сплошной средой, и какими параметрами она может быть охарактеризована?

Многие материалы, используемые пищевой промышленностью для производства продуктов питания, могут рассматриваться в виде системы большого количества материальных точек и быть представлены моделями сплошной среды.

Для описания состояний такой среды нужно знать некоторые параметры распределения, например, распределения плотности материала по сплошной среде. Так, средняя плотность распределения массы среды в объеме определяется отношением . Выделив элементарный объем, можно записать , откуда .

Аналогично, средняя плотность распределения сил, приложенных в точках сплошной среды при ее обработке в рабочих зонах технологического оборудования, определится как отношение главного вектора сил , приложенных в точках объема , к массе этого объема равной . Это отношение характеризует среднюю объемную силу , откуда .

Действия объемных сил, например, таких как, силы трения между слоями материала при его истирании или внешние силы, действующие на границе раздела сред, можно заменить действиями поверхностных сил, определяемых плотностью распределения по поверхности.

В отличие от механики абсолютно твердого тела и механики дискретных материальных точек механика сплошных сред оперирует характеристиками векторного и тензорного исчисления. Считают, что в механике сплошных сред все рассматриваемые физические величины непрерывно распределены в пространстве, которое занимает сплошная среда и в каждой точке этого пространства однозначно определены значения физических величин.

4. Как находятся главные векторы поверхностных сил, действующих на тело?

Главные векторы объемных и поверхностных сил, приложенные к конечным объемам или площадям поверхности, находятся суммированием элементарных объемных или поверхностных сил по объему или поверхности . При непрерывном распределении сил суммарные силы определяются объемными или поверхностными интегралами.

5. Что понимается под напряжениями, возникающими в физических телах?

Механика сплошных сред рассматривает явления, происходящие внутри физических тел. Приложенные к телу силы создают динамическую ситуацию в любой точке тела, которая характеризуется напряжением.

Сила , действующая по нормали к поверхности , приводит к появлению нагрузки в каждой точке тела, равной , что и является растягивающим или нормальным напряжением, т.е. напряжение – это нагрузка, отнесенная к единице площади.

Среднее напряжение в материале равно , где - площадь поверхности, на которую эти силы действуют, - главный вектор поверхностных сил. Выделив элементарный участок поверхности, можно получить вектор напряжения в точке , откуда элементарная поверхностная сила равна произведению .

Напряжения – это характеристики сил, действующих в определенной точке, интерпретируемые как относительные силы или силы, отнесенные к единице площади.

6. Каким методом находятся напряжения в физических телах?

Напряжения в сплошной среде находятся методом сечений.

В общем случае в сплошной среде можно в каждой ее точке провести бесконечное множество плоских сечений по-разному ориентированных в пространстве. Отбросив с одной стороны сечения сплошную среду и учтя ее действие на оставшуюся часть, можно найти поверхностную силу, приложенную к сечению со стороны отброшенной части. Отношение силы к площади сечения даст плотность распределения поверхностной силы по сечению или напряжение в данной точке среды, являющееся вектором. Ориентация элементарной площади сечения определяется единичным вектором нормали к ней.

Выделим в сплошной среде элемент в форме тетраэдра, боковые грани которого лежат в координатных плоскостях Ориентация наклонной грани определяется единичным вектором нормали . Единичными векторами к боковым граням будут орты координат . Четыре площади граней обозначим через и . Поскольку элементарный объем материала должен находится в равновесии, отбросим окружающую тетраэдр сплошную среду и заменим ее действие силами

Выделенный элементарный объем тетраэдра находится в равновесии под действием четырех поверхностных сил и объемной силы . Поскольку объемная сила имеет высший порядок малости по сравнению с поверхностными силами, то ее можно отбросить и записать равенство нулю главного вектора сил в виде .

7. На какие компоненты может быть разложен вектор силы, действующей на выделенной малой площадке тела?

Пусть необходимо найти силу, действующую на поверхность и имеющую наклон под произвольным углом , исходя из значений компонент тензора напряжений. Для этого выделим небольшую призму с одной наклонной гранью и параллельными осям координат другими гранями.

Разложение силы , действующей на наклонную грань с единичной нормалью , на компоненты

Сложим силы, действующие на призму.

Так, - компонента силы состоит из пяти частей по одной от каждой грани. Если , то силы от треугольных граней, перпендикулярных оси будут равны друг другу и противоположны по направлению.

На основание призмы действует Х - компонента силы , а на заднюю прямоугольную стенку . Сумма этих двух сил должна быть равна -компоненте внешней силы, действующей на наклонную грань призмы.

Пусть - единичный вектор нормали к наклонной грани призмы, а - действующая на грань сила. Тогда .

Составляющая напряжения по оси , действующего в этой плоскости, равна силе деленной на площадь наклонной грани, которая равна , т.е.

. (1)

Из рисунка видно, что отношение , где - угол между нормалью и осью . Обозначим его как . Аналогично . Тогда выражение (1) может быть записано как .

Обобщая полученный результат на произвольный элемент поверхности, получим или в общей форме .

Формула показывает, что можно выразить силу, действующую на произвольную площадь, через компоненты тензора и охарактеризовать тем самым внутреннее напряжение.

Поскольку численные значения компонент напряжения зависят от ориентации в пространстве площадки, на которой они действуют, то существует такая ориентация площадки, на которой напряжения будут иметь максимальное значение. Если рассечь тело плоскостью, расположенной под углом к горизонтальной оси, то сила растяжения, приложенная к телу по его оси, разложится на две составляющие – нормальную (перпендикулярно плоскости сечения) и тангенциальную (лежащую в плоскости сечения). Поскольку компоненты тензора напряжений равны отношению силы к площади, на которой они действуют, то можно записать:

- нормальное напряжение,

- касательное напряжение.

8. Какой величиной определяется ориентация в пространстве площадки, к которой приложена действующая сила?

Ориентация площадок задается вектором нормали к ней, который также раскладывается на компоненты по координатным осям. Поскольку ориентация площадок в пространстве, относительно которых будут рассматриваться внутренние силы, может быть разной, то и действующие на них силы будут разными, что свидетельствует о тензорной природе возникающих внутренних напряжений в теле от действия на него нагрузок.

Если сделать разрез в теле перпендикулярно оси , разложить действующую в разрезе силу на компоненты и взять отношение этих сил к выделенной элементарной площади , то получим три очевидных соотношения

Разложение действующей силы на три составляющие на элементарной площадке ортогональной к оси

Если сделать разрез перпендикулярно оси то соответственно получим еще три компоненты:

и т.д.

Аналогичным образом находятся три компоненты на площадке ортогональной оси : .

Разложение действующей силы на три составляющие на элементарной площадке ортогональной к оси

9. Что понимается под деформацией тела?

Любое внешнее воздействие на физическое тело приводит или к его смещению, или к изменению его первоначальной формы, или к суммарному действию этих эффектов.

Классическая механика занимается изучением движения тел, которые происходят без изменения их формы, механика сплошных сред изучает внутренние состояния этих тел, инженерная реология занимается свойствами пищевых материалов, которые определяются соотношениями между напряжениями и деформациями.

Изменение формы, т.е. изменение расстояний между различными точками в объеме тела, собственно и является деформацией тела.

Если взять внутри элементарного единичного кубика, находящегося в состоянии равновесия, какую-то материальную точку , то ее положение определится радиус-вектором с координатами . Если на кубик подействовать растягивающей силой , направленной параллельно оси , то он деформируется, и материальная точка в результате этой деформации займет новое положение с координатами , переместившись на величину .

В области упругих деформаций величина перемещения материальной точки с координатой пропорциональна самому , т.е. или, обозначая , .

Однородная деформация растяжения

- вектор перемещения, - вектор положения точки

1.2.Цели и задачи инженерной реологии в пищевых производствах

10. Что понимается под инженерной реологией и каково ее основное назначение как науки?

Инженерная реология - наука о деформации и течении различных тел, исследующая способы определения структурно-механических свойств сырья, полуфабрикатов и готовых продуктов с помощью соответствующего приборного оснащения с целью использования полученных результатов для совершенствования технологических процессов и повышения качества на всех стадиях производства готовой пищевой продукции.

Основное назначение инженерной реологии, как науки, состоит в определении свойств сырья и продуктов для использования их в качестве нормативов в технологической документации и в получении необходимых данных для расчета конструктивно-технологических параметров технологического оборудования.

11. Какие процессы исследуют, и какие показатели определяют методами инженерной реологии в пищевой промышленности, и с какой целью?

Методами инженерной реологии на основе биохимических, биофизических, физико-химических и органолептических показателей проводят исследование процессов структурообразования продуктов, определяют нормативные показатели структурно-механических свойств продуктов для использования в технологической документации, получают необходимые данные для проектирования и расчета технологического оборудования.

Протекание различных процессов: механических, тепловых, диффузионных, электрических и др. в значительной степени определяется структурно-механическими свойствами продуктов, которые зависят от внутреннего строения и состава продукта, характера взаимодействия между собой частиц или молекул, физико-химического состояния влаги в материале и других факторов, определяющих тип структуры.

12. Каким образом выражают свойства и поведение тел при проведении исследований методами инженерной реологии?

При проведении реологических исследований свойства и поведение реальных тел выражают в виде математических или механических моделей, которые с теми или иными допущениями характеризуют параметры их изменения в процессе обработки.

Пищевые продукты, большинство из которых относится к сложным дисперсным системам, характеризуются определенными физико-химическими свойствами, среди которых важнейшее место занимают реологические свойства.

Развитие реологии, как составной части механики сплошных сред и как науки о течении и деформации тел, способствовало созданию и применению новых методов анализа процессов переработки пищевых масс и способов получения продуктов с задаваемыми свойствами, а также новых подходов при проектировании технологического оборудования пищевых производств.

Прогнозирование поведения пищевых масс при их обработке в технологических потоках требует определения количественных характеристик реологических свойств, таких как прочность, упругость, пластичность, вязкость и др., что целесообразно проводить на базе теории упругости, вязкоупругости, вязкопластичности и др. с применением известных реологических моделей или созданием новых их комбинаций.

13. Каковы основные задачи инженерной реологии в пищевой промышленности?

К основным задачам реологии в пищевой промышленности относятся:

- определение реологических характеристик продуктов при различных значениях технологических факторов;

- создание средств технического оснащения для изучения деформирования реальных продуктов;

- разработка обоснованных методов расчета технологических процессов и технических систем;

- управление структурными свойствами и качеством продукции

14. В какие группы в зависимости от действующих усилий и возникающих от них в обрабатываемых материалах напряжений объединяются реологические свойства материалов?

Реологические свойства продукции характеризуют ее поведение в условиях напряженного состояния при воздействии внешней нагрузки, которая приводит к смещениям тел и деформациям материала в рабочих зонах машин. Это поведение зависит от формы и размеров тела, скорости деформации, структуры продукта, температуры, давления и других факторов.

В зависимости от действующих усилий и возникающих от них в обрабатываемых материалах напряжений реологические свойства объединяются в три основные группы:

- сдвиговые свойства, характеризующие поведение продукта при действии касательных напряжений;

- компрессионные свойства, характеризующие поведение продукта при действии усилий сжатия;

- поверхностные свойства, возникающие на гранях раздела сред при воздействии нормальных и касательных напряжений.

15. Какие показатели определяются при изучении компрессионных свойств пищевых материалов?

Определение упругопластических показателей, закономерностей изменения плотности от давления, характеристик ползучести и релаксации напряжений составляет предмет исследований при изучении компрессионных свойств.

16. Какие зависимости определяют при построении реологических моделей тел и их сдвиговых характеристик?

Для выявления сдвиговых характеристик и определения типа реологической модели проводят анализ зависимостей величины касательных напряжений от скоростей сдвига (кривых течения).

17. Какие оценки необходимо получить при исследовании поверхностных свойств пищевых материалов?

Оценки адгезионных и фрикционных характеристик продуктов, зависимостей адгезионного давления от величины напряжения, скорости отрыва получают при изучении поверхностных свойств. Фрикционные показатели оценивают по статическим и динамическим коэффициентам трения.

1.3.Понятие о тензорах и тензорном исчислении

18. Что понимается под полем физической величины?

Совокупность значений физических величин, соответствующая точкам пространства, определяет поле этих величин.

Это поле задается функциями координат в области определения физической величины при ограничениях непрерывности и существования производных по координатам.

Если каждой точке пространства ставится в соответствие какая-то скалярная величина , то возникает скалярное поле . К таким полям относятся, например, поле температуры, поле плотности в неоднородной среде, потенциал силового поля и др. Скалярные поля наглядно представляются с помощью поверхностей уровня, на которых имеют одинаковые значения. Например, температурное поле, как поле скалярной величины, задается одной функцией координат и времени или , где - радиус-вектор точки .

19. Что понимается под градиентом скалярного поля?

Градиент скаляра дает значение и направление наиболее быстрого возрастания . Он направлен перпендикулярно к поверхности уровня .

Градиентом скалярного поля называется вектор , определяемый в каждой точке поля соотношением

, где - оператор Гамильтона (набла-оператор). Отсюда .

20. Каким образом вводится понятие векторного поля?

Если каждой точке пространства ставится в соответствие вектор , то говорят о векторном поле . Примером такого поля является поле скоростей частиц движущейся жидкости или вязкой массы. Как и для скалярных полей записывают или . Например, в декартовых координатах запись векторного поля выглядит следующим образом .

Если для векторного поля существует функция такая, что , т.е. , то называется потенциалом векторного поля .

Если рассматривается поле векторной величины, то проекции вектора на оси координат зависят от выбора этих осей в пространстве, но длина вектора при этом является инвариантной.

21. Что называется векторной суммой двух векторов

Векторная сумма двух векторов и одного класса есть вектор, соответствующий геометрической сумме соответствующих направленных отрезков (правило параллелограмма)

22. Что представляет собой произведение вектора на скаляр (действительное число) ?

Произведение вектора на скаляр есть вектор, соответствующий направленному отрезку в раз более длинному, чем отрезок, соответствующий вектору , и направленному в случае отрицательного в сторону, противоположную вектору .

23. Каким образом задается вектор в декартовой прямоугольной системе координат?

Если в пространстве задана правая прямоугольная система декартовых координат, то единичные векторы осей и соответственно образуют систему базисных векторов.

Координаты вектора являются декартовыми прямоугольными координатами вектора .

24. Чему равно скалярное произведение векторов и ?

Скалярное (внутреннее) произведение векторов и обозначается или и является числом , где - угол между и .

25. Чему равно векторное произведение двух векторов?

Векторное произведение (другое обозначение ) двух векторов и есть вектор, модуль которого равен .

Его направление перпендикулярно к обоим векторам и и совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его повороте от к на угол меньший .

26. В каком случае два вектора будут линейно зависимы?

Два вектора линейно зависимы тогда и только тогда, когда их векторное произведение равно нулю.

27. Что понимается под дивергенцией векторной функции точки?

Дивергенция векторной функции точки есть скалярная функция точки, определяемая формулой

Дивергенцией векторного поля называют производную по объему поля в точке : . Дивергенция есть мера источников поля, если она равна нулю, то векторное поле свободно от источников.

Дивергенция некоторого вектора определяется пределом отношения векторного потока через малую замкнутую поверхность, окружающую какую-либо точку расхождения или схождения этого потока, к объему, ограниченному той же малой поверхностью (мощность источника)

28. Что понимается под ротором векторной функции точки?

Ротор векторной функции точки есть векторная функция точки, определяемая формулой

Ротор (вихрь) векторного поля векторного поля - это производная по объему поля в точке , т.е. .

Наглядно понятие ротора вводится с помощью понятия циркуляции векторного поля вдоль замкнутой кривой : . Циркуляция есть мера завихренности векторного поля.

Ротор некоторого вектора определяется как предел отношения наибольшей циркуляции вокруг малой замкнутой поверхности, окружающей какую-либо точку, к величине площади этой поверхности

29. Каково координатное представление ротора?

Координатное представление ротора задается следующей формулой:

Если в произвольном поле скоростей , то это означает, что в точке нет местного вращательного движения.

Циркуляция векторного поля

30. В чем сущность теоремы о дивергенции (теоремы Гаусса-Остроградского)?

Теорема о дивергенции связывает объемные интегралы по области и поверхностные интегралы по границе этой области. Область предполагается ограниченной и пространственно односвязной, поверхность - замкнутой и регулярной.

Область в евклидовом трехмерном пространстве называется пространственно-односвязной, если любую простую замкнутую поверхность типа сферы, лежащую в , можно с помощью непрерывной деформации стянуть в точку, не выходя из .

Регулярной поверхностью называется двухсторонняя простая (замкнутая или незамкнутая) поверхность, составленная из конечного числа регулярных кусков с общими регулярными дугами и точками.

Точка поверхности называется регулярной точкой, если при некотором параметрическом задании поверхности функции имеют в рассматриваемой точке непрерывные частные производные первого порядка и по меньшей мере один из определителей отличен от нуля.

Формулировка теоремы о дивергенции: поток вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции по объему, ограниченному этой поверхностью.

31. В чем сущность теоремы о роторе (теоремы Стокса)?

Если векторная функция однозначна и имеет непрерывные частные производные всюду в конечной поверхностно-односвязной области и если лежащая в области поверхность односвязна, регулярна и ограничена регулярной замкнутой кривой , то криволинейный интеграл от по замкнутому контуру равен потоку ротора через поверхность, натянутую на контур . При этом ориентация площадки должна быть согласована с ориентацией контура по правилу правого винта.

32. Каким образом вводится формальное понятие тензора?

В статике и кинематике сплошной среды встречаются задачи, когда требуется перейти от одного вектора к другому. Этот переход может задаваться линейным преобразованием или в проекциях или , где совокупность коэффициентов линейного преобразования одного физического вектора в другой физический вектор определяет тензор второго ранга (по числу индексов при ).

Пусть имеются два вектора и с одинаковыми скалярами и разными тройками векторов, расположенных в разных плоскостях, то векторы и называются аффинными по отношению один к другому. Форму зависимости векторов и , выраженную относительно , называют линейной вектор-функцией и обозначают . Линейный оператор , который формально надо умножить на , чтобы перешло в , называется тензором (или аффинором).

Пусть три единичных вектора правой декартовой системы координат, причем , то для векторов можно записать где - радиус-вектор с координатами ; .

Если положить , то выражение даст разложение на составляющие в прямоугольной системе координат. Линейная вектор-функция выразится при этом в следующем виде , где через обозначены проекции и т.д.. В такой записи тензор эквивалентен записи с 9 членами и отличным от нуля детерминантом, т.е.

Таким образом, если описание какого-либо объекта (математического или физического) потребует идентификации двух векторов, то объекты, определяемые с помощью этих векторов, называются тензорами.

33. Почему напряжения, возникающие в материале, представляют собой тензорную величину?

Представим себе кусок материала, в сечении которого действует поверхностная сила . Эта сила приложена к малой площадке , ориентация которой в пространстве (ориентация сечения относительно координат) может быть любой и задается вектором нормали к этой площадке. Т.е. можно записать, что напряжение равно отношению .

Можно видеть, что напряжение является результатом комбинации двух векторов и , определенных для какой-то конкретной точки.

Величины напряжений зависят от направления приложения силы и ориентации площадки, на которой действуют эти силы, т.е. являются объектами тензорной природы.

На практике удобней оперировать не с самими векторами, а с их проекциями на координатные оси. Каждый из векторов имеет по три проекции на ортогональные координатные оси:

.

Т.е. необходимо нужно определять девять величин: три проекции силы на площадку, зависящие от выбора трех координат, характеризующих положение этой площадке.

Так как величина площадки, на которой действует сила, несущественна, все три компоненты силы надо разделить на площадь сечения , что даст согласно определению напряжения компоненты тензора напряжений , где первый индекс указывает на ориентацию силы, второй – на ориентацию площадки.

Тензор напряжений в компонентах

.

Таким образом, можно дать следующее определение тензора напряжений: тензор напряжений – это физический объект, связывающий два вектора - силу и нормаль к площадке, определяющей ее ориентацию в пространстве, т.е. это функция от направления и величины приложенной силы и плоскости, на которой действует эта сила.

Модель трехмерного напряженного состояния

Тензор является симметричным, так как напряжения, действующие, например, на противоположных гранях элементарного единичного кубика, вырезанного из материала, будут равны и противоположны направлены. Кубик будет находиться в равновесии, поскольку на него не действует никакой момент сил, поэтому , .

Компоненты тензора напряжений с разными индексами , где называются касательными напряжениями и обозначаются и т.д.

Компоненты с одинаковыми индексами , где называются нормальными напряжениями и обозначаются .

Для симметричного тензора полное описание внутренних сил в произвольном твердом теле потребует знания шести функций координат и вместо девяти.

34. Что понимается под главными напряжениями?

Поскольку численные значения компонент напряжения зависят от ориентации в пространстве площадки, на которой они действуют, то существует такая ориентация площадки, на которой напряжения будут иметь максимальное значение. Если рассечь тело плоскостью, расположенной под углом к горизонтальной оси, то сила растяжения, приложенная к телу по его оси, разложится на две составляющие – нормальную (перпендикулярно плоскости сечения) и тангенциальную (лежащую в плоскости сечения). Поскольку компоненты тензора напряжений равны отношению силы к площади, на которой они действуют, то можно записать:

- нормальное напряжение,

- касательное напряжение.

При нормальное напряжение максимально, касательное напряжение равно нулю. При нормальное напряжение равно , касательное напряжение максимально. При нормальные и касательные напряжения равны нулю, т.е. при такой ориентации площадок на них отсутствуют напряжения.

Нормальные напряжения будут максимальны тогда, когда будут отсутствовать касательные напряжения, в этом случае они называются главными напряжениями.

35. Что понимается под инвариантами тензора?

Для любого произвольного тензора существуют три независимые комбинации компонент, независящие от ориентации координатных осей в пространстве, которые называются инвариантами.

Независимость главных напряжений и инвариантов тензора напряжений от выбора координатных осей характеризует тензор напряжений как физический объект, не связанный с какой-то координатной системой.

36. Что понимается под сферическим тензором и девиатором?

Поскольку нормальные напряжения действуют перпендикулярно плоскостям элементарного единичного кубика. Выделенного из среды, а касательные напряжения действуют в плоскостях этого кубика, то, очевидно, действие нормальных напряжений приводит к изменению объема тела, а действие касательных напряжений – к изменению его формы.

Если элементарный кубик поместить в жидкость, то он подвергнется действию всестороннего давления , которое называется гидростатическим. При этом касательные напряжения будут отсутствовать, т.е. все компоненты тензора напряжений, кроме диагональных, будут равны нулю

или (последняя запись означает, что для любой пары одинаковых индексов и , если )

Отсюда следует, что главные напряжения равны между собой (знак минус означает, что сила направлена внутрь каждого элемента объема тела). Данный тензор называется сферическим тензором .

Давление выражается как , где - первый инвариант тензора.

Для плоского напряженного состояния, например, можно записать и (аналогичная запись может быть сделана для других компонент тензора напряжений). Подобный случай называется простым сдвигом. При этом , т.е - гидростатическое давление отсутствует. Это показывает, что действие касательных напряжений не приводит к изменению объема тела, а лишь к изменению его формы.

Отсюда следует тот факт, что у произвольного тензора напряжений можно выделить гидростатическую компоненту, в оставшейся части тензора все касательные напряжения остаются неизменными, а каждый диагональный компонент становится равным . Эта оставшаяся часть полного тензора напряжений называется девиатором. Считается, что именно эта часть отвечает за изменение формы тела, но не его объема

37. Чему равны сферическая и девиаторная части тензора напряжений при одноосном растяжении тела?

Тензор напряжения при одноосном растяжении соответствует ситуации, когда все силы кроме нормальной силы отсутствуют, поэтому .

Разделим данный тензор на гидростатическую и девиаторную компоненты и выделим гидростатическое давление и оставшуюся часть – разность между полным тензором и гидростатическим давлением, т.е. девиатор.

Каждая компонента полного тензора равна сумме компонент обеих составляющих с теми же индексами

.

.

Одноосное растяжение обязательно приводит к появлению девиаторной части тензора напряжений, это означает, что при одноосном растяжении в теле возникают касательные напряжения и тело не только растягивается вдоль направления действия силы, но и сжимается в поперечном направлении, т.е. меняется форма тела.

38. Что понимается под тензором деформации?

а)

б)

Однородная деформация сдвига (а) и однородный поворот без деформации (б)

При неоднородной деформации в теле связь между и будет меняться от точки к точке. В этом случае . Аналогично можно записать, если деформация идет в направлении осей и .

Кроме сил растяжения на кубик могут действовать тангенциальные силы, ведущие к деформации сдвига. В результате их действия кубик изменит свою форму и превратится в параллелограмм Полный угол сдвига будет равен сумме углов относительно осей и , поскольку тангенциально приложенная сила вызывает деформацию кубика одновременно по двум осям, а не простое его вращение в пространстве относительно какой-то точки. Так, перемещение по направлению оси каждой материальной точки будет пропорционально ее координате , т.е. , а перемещение в направлении пропорционально , т.е. .

Таким образом, деформация сдвига выразится, как и или , где - угол поворота тела при действии сдвиговых напряжений.

В общем случае деформационное состояние тела, испытывающего воздействие растягивающих или сжимающих усилий и сдвиг, деформационное состояние определится заданием девяти чисел, являющихся компонентами тензора деформации.

, где и т.д.

При однородной деформации, включая как растяжения, так и сдвиги, все постоянны и можно записать: (начало координат в точке, где ). В этом случае тензор деформации дает соотношение между вектором координат и вектором перемещения .

При неоднородной деформации могут возникнуть дополнительные повороты тела. , где - антисимметричный тензор описывающий поворот тела при его деформации: .

При симметричном тензоре деформации и т.д. и для описания деформационного состояния требуется знание 6 чисел.

Тензор деформации может быть разделен на две составляющие: сферическую, отвечающую за изменение объема тела, и девиаторную, выражающую изменение формы тела

39. Что понимается под главными значениями тензора деформации?

Главные значения тензора деформации – это относительные удлинения вдоль трех прямоугольных координатных осей. Инварианты тензора представляют собой комбинации компонент, которые не зависят от выбора осей.

Деформация наглядно может быть представлена превращением сферы в эллипсоид, когда радиусы шара по всем трем координатам изменяются по длине

Первый инвариант тензора деформации означает, что относительное изменение объема равно этому инварианту .

Относительное изменение объема может быть выражено через степени растяжения . Например, если начальная длина граней бруска составляла , а после деформации , то главные степени растяжения определятся, как . Изменение объема будет равно . Постоянство объема при деформации выражается инвариантом .

40. Какими показателями характеризуется кинематика относительного перемещения точек сплошной среды?

Кинематика относительного перемещения точек сплошной среды характеризуется скоростью равной производной смещения точки по времени, градиентом скорости – производной по времени относительного смещения и скоростью деформации – производной по времени деформации.

Градиент скорости представляет собой сумму двух компонент – скорости деформации и тензора скорости вращения, описывающего вращение элементов тела. Это вращение происходит одновременно с деформацией из-за смещения точек в пространстве.

Известно, что движение материальной точки, так и физического тела, характеризуется скоростью, являющейся векторной величиной.

Деформация движущегося тела проявляется в том случае, когда имеется градиент скорости, т.е. когда соседние точки, находящиеся на бесконечно малом расстоянии друг от друга, движутся с разными скоростями

Поскольку пространственные координаты материальной точки задаются ее радиус-вектором , то компоненты градиента скорости выражаются как , где - производная смещения по времени.

Можно записать , где - градиент смещения.

За деформацию тела ответственна симметричная часть градиента смещения.

Разложение тензора на симметричную и антисимметричную части приводит к следующему равенству:

,

где - тензор скорости деформации, - тензор скорости вращения.

41. Что представляет собой тензор упругости?

Этот тензор связывает деформацию с напряжением в упругих телах, для которых справедлив закон Гука для любой материальной точки среды, т.е. когда напряжения в среде пропорциональны деформациям.

У тензора напряжения каждая i-я компонента силы, действующей на единичной площадке, перпендикулярной оси , линейно связана в соответствии с законом Гука с каждой компонентой тензора деформации . Так как каждый из тензоров напряжения и деформации содержит по 9 компонент, то для описания упругих свойств материала требуется 81 возможный коэффициент, т. е. можно записать , где каждый индекс принимает значения 1,2 или 3.

Поскольку коэффициенты связывают один тензор с другим, то они согласно определению тензора сами образуют тензор, но уже более высокого (четвертого) ранга, который называется тензором упругости.

и - это симметричные тензоры, содержащие по 6 компонент, то тензор будет включать 36 компонент, а при изотропном материале и еще меньше.

Общим уравнением, связывающим и для изотропного материала, является выражение , где - единичный вектор , - линейный инвариант тензора деформации, - упругие постоянные Лямэ.

Коэффициенты тензора упругости могут быть выражены как через упругие постоянные Лямэ, так и через модуль упругости материала и отношение Пуассона .

Например, .

42. Как преобразуются скаляры, векторы и тензоры при действии трехмерных дифференциальных операторов?