- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи обробки даних у психологічних і педагогічних експериментах.– Львів: Видавничий центр лну імені Івана Франка, 2006. – 168 с.
- •І. Основи теорії ймовірностей
- •Формула повної ймовірності
- •Формули Байєса
- •Задачі до розділу і.
- •Іі. Випадкова величина Поняття випадкової величини
- •Функція розподілу випадкової величини
- •Щільність розподілу неперервно розподіленої випадкової величини
- •Характеристики розподілу випадкової величини
- •Математичне сподівання випадкової величини
- •Дисперсія та стандартне відхилення випадкової величини. Асиметрія і ексцес.
- •Квантилі
- •Деякі дискретні розподіли Розподіл Бернуллі
- •Біномний розподіл
- •Апроксимаційні формули Муавра-Лапласа Локальна теорема Муавра-Лапласа Якщо у схемі Бернулі величина , коли , то
- •Функція розподілу двовимірної випадкової величини
- •Умовні закони розподілу
- •Коваріація і коефіцієнт кореляції
- •Коваріаційна матриця і матриця парних кореляцій
- •Граничні закони теорії ймовірностей Нерівність Чебишева
- •Теорема Чебишева
- •Закон Бернуллі
- •Теорема Ляпунова
- •Задачі до розділу іі.
- •Ііі. Елементи математичної статистики
- •Генеральна сукупність і вибірка
- •Дискретний варіаційний ряд
- •Інтервальний варіаційний ряд
- •Точкові та інтервальні оцінки
- •Поняття про статистичну перевірку гіпотез
- •Задачі до розділу ііі.
- •Іv. Методи математичної обробки даних у психології Ознаки і змінні. Шкали вимірювання ознак
- •Перевірка гіпотези про однорідність вибірки
- •Перевірка гіпотези про узгодженість розподілів
- •Критерій Пірсона
- •Критерій Колмогорова
- •Критерій Смирнова
- •Перевірка гіпотези про рівність двох дисперсій
- •Виявлення відмінностей у рівні досліджуваної ознаки Критерій Розенбаума
- •Критерій Манна-Уітні
- •К ритерій Стьюдента
- •І. Вибірки взяті з однієї генеральної сукупності
- •Іі. Вибірки взяті з різних генеральних сукупностей
- •Перевірка наявності зсуву у значеннях досліджуваної ознаки
- •Критерій знаків
- •Критерій Вілкоксона
- •Парний t-тест Стьюдента
- •Перевірка впливу фактора на зміну рівня досліджуваної ознаки
- •Критерій Краскела-Уоллеса
- •Критерій тенденцій Джонкхієра
- •Критерій Фрідмана
- •К ритерій тенденцій Пейджа
- •Однофакторний дисперсійний аналіз
- •П еревірка наявності зв’язку між двома ознаками
- •Зв'язок ознак, виміряних у номінативних шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних у порядкових шкалах
- •Зв'язок ознак, виміряних в інтервальних шкалах
- •Задачі до розділу іv.
- •Критичні значення розподілу
- •Критичні значення розподілу Фішера-Снедекора
- •Критичні значення критерію Розенбаума
- •Критичні значення критерію Манна-Уітні
- •Критичні значення критерію знаків
- •Критичні значення критерію Вілкоксона
- •Критичні значення критерію Краскела-Уоллеса
- •Критичні значення критерію Джонкхієра
- •Критичні значення критерію Фрідмана
- •Критичні значення критерію Пейджа
- •Критичні значення рангового коефіцієнта кореляції Спірмена
- •Д о д а т о к 2: Елементи вищої математики Матриці, визначники, системи лінійних рівнянь Поняття матриці. Операції над матрицями.
- •Визначник матриці. Обернена матриця
- •Системи лінійних алгебричних рівнянь
- •Вступ до математичного аналізу
- •Числові послідовності та їх границі
- •Границя функції в точці. Односторонні границі
- •Неперервність функції
- •Диференціальне числення функцій однієї змінної Похідна функції в точці
- •Диференційовність функції
- •Монотонність функції. Екстремуми
- •Похідні вищих порядків
- •Інтегральне числення функцій однієї змінної Первісна функції. Невизначений інтеграл
- •В изначений інтеграл
- •Невластиві інтеграли
- •Частинні похідні функцій багатьох змінних
- •Д о д а т о к 3: Деякі команди Maple 8.
- •Алфавітний покажчик
- •Основи теорії ймовірностей і статистичні методи аналізу даних у психологічних і педагогічних експериментах
Формула повної ймовірності
Зауважимо, що на σ-алгебрі S сумі подій А і В відповідає об’єднання множин А і В. Тому, якщо події А і В несумісні, то
. ( І.2)
Оскільки події А і несумісні і , то і
. ( І.3)
Якщо події утворюють повну систему несумісних подій, то і
. ( І.4)
Якщо при знаходженні ймовірності події у випробуванні ніяких додаткових умов, крім умов самого випробування, не накладається, то знайдена ймовірність називається безумовною. Якщо накладаються додаткові умови, то знайдену ймовірність називають умовною.
Умовною ймовірністю називають імовірність події В, знайдену в припущенні, що подія А здійснилася. Умовна ймовірність дорівнює відношенню ймовірності добутку подій А і В до ймовірності події А, тобто
. ( І.5)
Приклад 3. В урні є 5 білих і 4 чорних кульки. З неї послідовно без повернення виймають дві кульки. Знайти ймовірність, що друга кулька виявилась білою, якщо: а) перша кулька була білою? б) перша кулька була чорною?
Розв’язання: Введемо позначення: А — перша кулька була білою; В — перша кулька була чорною; С — друга кулька виявиться білою.
а) Якщо перша кулька виявилась білою, то в урні залишилось 4 білих і 4 чорних кульки. Тому ймовірність, що друга кулька виявиться білою дорівнює .
б) Якщо перша кулька виявилась чорною, то в урні залишилось 5 білих і 3 чорних кульки. Тому ймовірність, що друга кулька виявиться білою дорівнює .
З другого боку ймовірність, що перша кулька виявилась білою дорівнює . Знайдемо ймовірність . Всеможливих послідовних виборів двох кульок є 9 8 = 72. Сприятливих для АС несумісних рівноможливих виходів є 5 4 = 20. Тому . . Аналогічно , і . Як бачимо результат не залежить від того, чи умовна ймовірність обчислюється безпосередньо, чи на основі формули (І.5).
З формули ( І.5) безпосередньо випливає формула для обчислення ймовірності добутку двох подій.
( І.6)
Дві події А і В називаються незалежними, якщо ймовірність однієї з них не залежить від того, чи інша подія відбулась, тобто чи . Очевидно, для незалежних подій справджується формула
. ( І.7)
Можна сказати, що дві події незалежні, якщо ймовірність їх добутку дорівнює добутку їх імовірностей.
Для довільних подій А і В справджується формула
. ( І.8)
Дійсно, . Тут події несумісні, тому . Але , де і — несумісні, тому . Так само . Тоді .
Приклад 4. Два стрільці одночасно стріляють по одній мішені. Яка ймовірність попадання в мішень хоча б одним стрільцем, якщо ймовірність попадання в мішень першим стрільцем дорівнює 0,6, а другим — 0,65?
Розв’язання: Введемо позначення: А — попадання в мішень першим стрільцем, В — попадання в мішень другим стрільцем. Тоді , . Оскільки попадання у мішень кожним із стрільців події незалежні, то . Шукана ймовірність дорівнює .
Нехай подія А може здійснитись за умови здійснення однієї з несумісних подій , які утворюють повну систему. Тоді здійснення події А означатиме здійснення однієї з несумісних подій . Отже, . Але і тому
. ( І.9)
Формула ( І.9) носить назву формули повної ймовірності.
Приклад 5. Агентство із страхування цивільної відповідальності водіїв розділяє їх на три групи: група тих, що практично не ризикують, група тих, що іноді ризикують і група тих, що дуже часто ризикують. Агентство вважає, що з усіх водіїв, які застрахували автомобілі, 30% належить до першої групи, 50% — до другої групи і 20% — до третьої. Ймовірність того, що протягом року водій з першої групи хоча б один раз потрапить в аварію, складає 0,01, для водія з другої групи — 0,02, а для водія з третьої групи - 0,09. Яка ймовірність, що навмання вибраний водій потрапить в аварію протягом року?
Розв’язання: Введемо позначення: А — водій потрапить в аварію протягом року, Н1 — водій належить до першої групи, Н2 — водій належить до другої групи, Н3 — водій належить до третьої групи. Тоді , , , , , . За формулою повної ймовірності
.