Модуль і линейное программирование

1. Постановка задачи линейного программирования.

а) Выполнить математическую постановку задачи.

Задача 1.	Два поставщика обеспечивают товаром трех потребителей. В таблице указаны транспортные издержки на перевоз единицы продукции от каждого поставщика каждому потребителю.
	Поставщики	Потребители			Наличие
		4	3	5	185
		2	4	1	245
	Потребность	150	180	100	430

Поставить задачу в математической форме, стремясь к минимизации транспортных расходов.

Задача 2.	Для изготовления столов и шкафов применяется три вида древесины. Расход древесины для каждого изделия приведен в таблице.
	Изделие	Вид древесины
		I	II	III
	Стол, м3	0,2	0,2	0,25
	Шкаф, м3	0,3	0,25	0,25
	Запасы древесины, м3	60	50	40

Доход от реализации одного стола составляет 30 грн., а шкафа – 42 грн. Поставить задачу математически, максимизируя доход.

Задача 3.	Допустимые варианты раскроя длиномерного материала длиной 7,4 м на заготовки размером 1,5; 2,1; 2,9 м представлены в таблице
	Длина заготовок, мм	Число заготовок, выкраиваемых по вариантам
		I	II	III	IV	V	VI
	2900	1	2	–	1	–	1
	2100	–	–	2	2	1	1
	1500	3	1	2	–	3	1
	Используется мм	7400	7300	7200	7100	6600	6500
	Отход мм	0	100	200	300	8000	9000

Осуществить раскрой при минимальных отходах материала. Выполнить математическую постановку задачи, учитывая, что заготовок I вида должно быть не меньше 300, II вида – не меньше 420, а III – не меньше 570.

Задача 4.	Распределить детали за машинами таким образом, чтобы на их обработку было затрачено минимум времени. Представить задачу математически. В таблице приведены все необходимые данные.
	Деталь машины	Норма времени на обработку						Резерв времени машины
		1	2	3	4	5	6
	1	3	3	2	5	2	1	80
	2	4	1	1	2	2	1	30
	3	2	2	5	1	1	2	160
	Требуемое число деталей	10	40	60	20	20	30

Задача 5.	Построить план перегона пустых товарных вагонов из пунктов отправления в пункты назначения, чтобы суммарные затраты на перегон были минимальными. В таблице приведены затраты на перегон одного вагона.
	Пункты отправления	Пункты назначения					Избыток
		10	20	5	9	10	90
		2	10	8	30	6	40
		1	20	7	10	4	80
	Потребность в вагонах	30	50	40	60	30	210

Задача 6.	Составить оптимальный суточный рацион откорма свиней, если рацион одной головы должен содержать кормовых единиц 2,3 кг, перевариваемого протеина – 270 г, каротина – 48 г. Рацион составляется из трех видов кормов: ячменя, бобов, сенной муки. В 1 кг ячменя содержится кормовых единиц 1,2 кг, перевариваемого протеина – 80 г, каротина – 12 г; в 1 кг бобов соответственно – 1, 25 кг, 280 г и 10 г ; в 1 кг сенной муки соответственной 0,75 кг, 100 г и 20 г. Цена 1 кг ячменя – 3 грн, бобов – 14 грн, сенной муки – 8 грн. Критерий оптимальности – минимум стоимости рациона.
Задача 7.	На трех группах оборудования необходимо изготовить изделия четырех видов. Установлен план производства: изделий типа А – 2000 шт., Б – 1000 шт., В – 200 шт., Г – 250 шт. Данные о себестоимости изготовления каждого изделия, трудоемкости и фонда рабочего времени даны в таблице.
	Оборудование	Себестоимость, грн.				Время на одно изделие				Фонд времени, часы
		A	Б	В	Г	A	Б	В	Г
	I	13	21	8	12	5	6	3	4	600
	II	16	11	9	15	3	2	2	3	270
	III	25	50	57	53	4	2	1	1	370

Составить модель задачи, минимизирующую затраты на выполнение производственной программы.

Задача 8.

Арматурный цех завода получает прут длиной 5 м. Необходимо выпустить 350 заготовок длиной 2 ,4 м, 500 заготовок длиной 1,6 м и 750 заготовок длиной 1,3 м. Составить различные варианты раскроя и построить модель минимизации отходов при выполнении производственной программы.

Задача 9.	На строительном участке имеется пять экскаваторов, которые могут быть использованы на пяти строительных объектах. Себестоимость (грн/час) земляных работ указана в таблице.
	Тип экскаватора	Строительный объект
		1	2	3	4	5
	А	5	3	7	4	10
	Б	7	8	6	5	5
	В	2	4	3	9	9
	Г	2	14	10	12	7
	Д	6	12	6	10	5

Необходимо задачу распределения экскаваторов поставить математически, добиваясь минимальной себестоимости. (Экскаваторы между объектами в течение смены не перемещают).

Задача 10.	Предприятие располагает тремя группами оборудования и может выпускать на нем четыре вида продукции. Трудоемкость обработки каждого изделия на различном оборудовании и прибыль приведены в таблице.
	Номер изделия	Трудоемкость обработки по группам оборудования /час			Прибыль за штуку	Минимальный объем реализации, шт.
		I	II	III
	1	2	4	3	30	1200
	2	5	2	0	40	900
	3	1	3	4	60	1500
	4	3	0	2	50	1300
	Фонд времени, час	15000	10000	20000	–	–

Исходя из требования максимизации прибыли, сформировать модель распределения изделий по различным группам оборудования.

Задача 11.	Распределить площадь для засева под различные культуры, чтобы валовая продукция в стоимостном выражении была наибольшей. Выразить задачу в математической форме, если в таблице указаны затраты труда на каждую культуру.
	Показатели	Ячмень	Сахарная свекла	Производственные ресурсы
	Затраты на механизиро-ванных работах, час	0,6	4,5	4500
	Затраты конно-ручного труда, час	2	22	8000
	Цена 1 центнера продукции, грн.	50	40	–

Урожайность ячменя составляет 25 ц с гектара, свеклы – 80 ц.

Задача 12.	В таблице указаны транспортные расходы на перевоз единицы груза от каждого поставщика к каждому потребителю, в также их предложения и спрос.
	Потребитель Поставщики	Стоимость перевозки единицы			Имеется в наличии
		4	5	1	100
		2	3	4	80
		1	2	4	120
	Потребность	60	140	100	300

Построить математическую модель транспортной задачи, руководствуясь минимумом затрат.

Задача 13.

Три сорта топлива в количествах 40, 70 и 50 т. распределить между четырьмя агрегатами, потребности которых равны 60, 30, 45 и 25 т. соответственно. Задана матрица теплотворной способности каждого топлива в каждом агрегате: .

Поставить задачу о распределении топлива между агрегатами в форме математической модели, цель которой – максимальное количество тепла от запаса топлива.

Задача 14.	Фабрика выпускает кожаные брюки, куртки, пальто. В процессе изготовления изделия проходят три участка, время обработки и плановая себестоимость изделий приведены в таблице. Ограничения на фонд времени на участках соответственно составляют 4000, 4200 и 4400 часов.
	Показатели	Брюки	Куртки	Пальто
	Норма времени на дубильном участке	0,4	0,5	0,7
	Норма времени на раскройном участке	0,5	0,3	0,8
	Время на пошивочном участке	0,6	0,5	0,8
	Плановая себестоимость, грн.	120	135	180

Составить модель выпуска указанных изделий, исходя из требований минимизации себестоимости выпускаемой продукции и необходимости обеспечения плана выпуска 1800, 3600 и 1500 изделий соответственно.

Задача 15.	Предприятие получает пруток длиной 5 м для изготовления заготовок длиной 1,2 м, 0,8 м и 1,5 м, потребность в которых равна соответственно не менее 800, 950, 1200 штук. Необходимо определить, какое количество прутков и какими способами нужно нарезать заготовки, чтобы отходы были минимальными. Варианты раскроя прутка на заготовки представлены в таблице.
	Размер заготовки	Варианты раскроя
	1,2	4	3	2	2	1	1	–	–
	0,8	–	1	3	1	1	4	–	2
	1,5	–	–	–	1	2	–	3	2
	Отходы	0,2	0,6	0,2	0,3	0	0,6	0,5	0,4

Задача 16.	Три действующих кирпичных завода А, В и С имеют дневную производительность 80, 120 и 100 тыс. штук кирпича. Планируемая потребность в кирпиче: у потребителя I – 90 тыс. штук, у II – 70 тыс. штук, у III – 80 тыс. штук, у IV – 60 тыс. штук. Матрица транспортных расходов задана.
	Поставщики	Потребитель
		I	II	III	IV
	А	4	1	3	5
	В	5	2	4	4
	С	3	4	6	1

Составить транспортную модель, стремясь к минимуму транспортных издержек.

Задача 17.	С трех складов необходимо вывезти минеральную воду в три торговые точки. Стоимость перевозки 1 тыс. бутылок представлена в таблице.
	Пункт отправления	Затраты на доставку 1 тыс. бутылок в торговые точки			Объем вывоза, тыс. бутылок
		7	9	5	75
		8	4	6	50
		5	6	7	65
	Объем ввоза, тыс. бутылок	60	80	50	190

Составить план закрепления складов за торговыми точками, обеспечивающий минимум затрат на перевозки.

Задача 18.	Строительные организации сооружают дома четырех различных типов: Д-1, Д-2, Д-3, Д-4. Данные о количестве квартир разного типа в каждом из домов приведены в таблице.
	Показатели	Д-1	Д-2	Д-3	Д-4
	Однокомнатные	10	56	20	15
	Двухкомнатные смежные	30		20
	Двухкомнатные несмежные		20	20	60
	Трехкомнатные	60	34	20
	Четырехкомнатные	20	10		5
	Плановая себестоимость, тыс. грн.	830	835	360	450

Годовой план ввода жилой площади составляет соответственно 1500, 840, 1740, 1950, 650 квартир указанных типов. Составить план строительства жилых домов, чтобы общая себестоимость была наименьшей. Записать задачу в каноническом виде.

Задача 19.	Цех мебельного комбината выпускает трельяжи, трюмо и тумбочки под телевизоры. Норма расхода материала, плановый ассортимент и себестоимость изделий приведены в таблице.
	Показатели	Трельяжи	Трюмо	Тумбочки	Запасы древесины
	Расход древесных плит, м3	0,032	0,031	0,038	99,8
	Расход еловых досок, м3	0,020	0,030	0,008	40,8
	Расход березовых досок, м3	0,005	0,005	0,006	15,6
	Плановый ассортимент, штук	700	300	1500	–
	Себестоимость, грн.	38,8	64,0	29,6	–

Исходя из необходимости выполнения и перевыполнения плана по ассортименту, построить модель максимизации объема реализации. Представить задачу в каноническом виде.

Задача 20.	В соответствии с планируемым уровнем удоя и весом животного одной корове необходимо в сутки не менее 19,26 кормовых ед., 1926 г перевариваемого белка, 114 г кальция и 85 г фосфора. В рацион кормления входят: сено клеверное, сено луговое, кормовая свекла, картофель, силос, концентраты. В таблице приведены показатели, характеризующие содержание питательных веществ в 1 кг корма и цены кормов. Составить рацион, удовлетворяющий требованию минимальной стоимости содержания скота.
	Вид корма	Цена корма, за 1 кг	Кормовые единицы	Белок, г	Кальций, г	Фосфор, г
	Сено клеверное	15	0,54	56	9,29	1,95
	Сено луговое	10	0,52	35	6,02	2,14
	Силос	18	0,18	12	3,55	0,65
	Свекла кормовая	20	0,12	3	0,38	0,33
	Картофель	25	0,30	9	0,14	0,68
	Концентраты	35	1,06	196	2,06	7,60

Задача 21.	В состав кормления животных входят три продукта: сено, силос и концентраты, содержащие питательные вещества: белок, кальций и витамины. Содержание питательных веществ и минимально необходимые нормы их потребления заданы таблицей:
	Питательные вещества Продукты	Белок, г/кг	Кальций, г/кг	Витамины, усл.ед./кг
	Сено	40	5	2
	Силос	20	4	1
	Концентраты	160	4	2
	Нормы выдачи	2000	120	40

Определить оптимальный рацион кормления из условия минимальной стоимости, если цена 1 кг соответственно составляет: сена 3 грн., силоса – 2 грн., концентратов – 5 грн., при предельных нормах суточной выдачи: сена – не более 18 кг., силоса – не более 24 кг и концентратов – не более 16 кг и при содержании питательных веществ в продуктах, указанных в I варианте.

Задача 22.	Три вида деталей можно производить на станках разных типов без переналадки. Мощности станков, ограничения на рабочее время и себестоимость в грн. одной детали каждого вида указаны в таблице:
	Вид деталей	Производительность станков, деталей в час		Себестоимость деталей
		I тип	II тип
	1	20	45	8
	2	30	20	6
	3	50	60	5

Фонд рабочего времени для станков составляет соответственно 12 и 8 часов. Нужно распределить рабочее время станков в целях получения минимальной себестоимости, если по плану положено за рабочий день выпустить не менее 160 деталей 1-го вида и 120 – 2-го вида и не менее 240 – 3-го.

Задача 23.	Под посев пшеницы, овса и гречихи отведено два земельных участка площадью в 120 и 150 га соответственно. В таблице указаны: средняя урожайность каждой культуры на каждом участке, выручка грн. на 1 ц культур и варианты плановых заданий по производству.
	Культура	Урожайность по участкам, ц/га		Выручка, грн.	Плановые задания, т
		I вариант	II вариант		I вариант	II вариант
	Пшеница	15	13	200	1500	1400
	Овес	16	19	100	1000	1000
	Гречиха	12	9	180	1000	1350

Определить, какую площадь на каждом участке следует отвести под каждую из культур для получения максимальной выручки, если установлен I вариант плана. Как изменится выручка, если установлен II вариант плана?

Задача 24.	Издательство, параметры деятельности которого отражены в таблице, выпускает литературу четырех серий.
	Серия Показатель	1	2	3	4
	Прибыль от реализации ед. продукции, грн./экз.	5	3	4	4
	Себестоимость ед. продукции, грн./экз.	5	8	7	9
	Удельная пропускная способность типографии, оттиск/экз.	4	5	3	2
	Удельный расход бумаги, лист/экз.	3	4	2	5

Издательство располагает фондом финансовых средств в 10000 грн., лимитами на бумагу в размере 90 000 листов и пропускной способностью типографий, равной 110000 оттисков. При каких тиражах выпускаемых серий издательство получит максимальную прибыль?

Задача 25.	Администрация создающегося издательства должна решить вопрос о наборе штата корректоров для каждой из четырех редакций. При этом фонд заработной платы по издательству не должен превзойти 350000 грн., общее время работы всех корректоров не должно превысить 50000 час., суммарный лимит материалов – не более 50000 грн.
	Редакции Показатели	I	II	III	IV
	Заработная плата корректора, грн.	170	185	180	195
	Затраты времени корректора, час.	50	200	100	150
	Расход материала на человека, грн.	80	90	75	80
	Производительность корректора, лист	70	90	85	75

Используя данные таблицы, дать рекомендацию руководству издательства, сколько корректоров в каждую редакцию оно должно пригласить, чтобы выпуск продукции в листах был максимальным.

Задача 26.	Книжный магазин, объем реализации которого не превышает 230000 листов печатной продукции, снабжается четырьмя издательствами. Составляя план-заказ каждому из них, магазин должен учесть лимит затрат на бумагу в 33000 грн. и пропускную способность обслуживающей издательство типографии, равную 100000 листам. Удельные затраты каждого ресурса содержит (по каждому издательству) таблица.
	Издательства Показатели	I	II	III	IV
	Удельный объем книг издательства, листов/книг	400	450	350	500
	Удельные затраты бумаги, грн./книг	11	16	17	13
	Удельные типографские затраты, листов/книг	200	100	150	180
	Прибыль от реализации продукции, грн./книг	4	4,5	5	3,5

Сколько книг магазин сможет принять от каждого издательства, чтобы его прибыль была наибольшей и величина ограниченных ресурсов не была превзойдена?

Задача 27.	Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимой для производства любого из четырех видов производимой продукции. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида продукции, прибыль, получаемая предприятием, а также запасы ресурсов указаны в следующей таблице:
	Виды продукции Виды ресурсов	1	2	3	4	Запасы ресурсов
	Сырье, кг	3	5	2	4	60
	Рабочая сила, час.	22	14	18	30	400
	Оборудование, станко-час.	10	14	8	16	128
	Прибыль на ед. продукции, грн.	30	25	56	48	–

Определить, какой ассортимент продукции надо выпускать, чтобы прибыль была максимальной.

Задача 28.	Предприятие имеет три комплексные автоматические линии оборудования и может выпускать изделия четырех типов – А, Б, В, Г. Известны средние нормы затрат времени на обработку каждого вида изделий на каждой линии и прибыль от реализации единицы каждого изделия. Необходимые данные приведены в таблице:
	Линии оборудования	Затраты времени на единицу изделия, мин.				Месячный фонд времени, час
		А	Б	В	Г
	I линия	1,0	2,0	4,0	8,0	288
	II линия	3,0	5,0	1,0	–	256
	III линия	6,0	–	3,0	1,0	240
	Прибыль от реализации единицу изделия, грн.	4	3	5	8	–

Какова наиболее рентабельная программа выпуска изделий, если каждое изделие нужно обрабатывать до готовности на нескольких линиях?

Задача 29.	Ткань трех артикулов производится на ткацких станках двух видов с различной производительностью. Для изготовления ткани используется натуральное и синтетическое волокно. В таблице указаны мощности станков (в тыс. станко-час.), ресурсы натурального и синтетического волокна (в тыс. кг), производительности станков по каждому виду ткани (в м/час.), норма расхода волокна по видам (в кг на 1000 м) и цена ткани каждого из артикулов (в грн.) за 1 м.
	Вид ресурса	Объем ресурса	Производительность и нормы расхода
			1	2	3
	Станки I типа	600	4,0	2,0	5,0
	Станки II типа	900	1,6	4,0	2,0
	Натуральное волокно	600	24,0	36,0	42,0
	Синтетическое волокно	200	2,0	1,0	1,6
	Цена ткани	–	15	18	22

Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий выручку предприятия. Как изменится решение, если для производства тканей первого и второго артикула не потребуется синтетическое волокно?

Задача 30.	Мебельная фабрика выпускает столы, стулья, платяные и книжные шкафы. При изготовлении этой продукции используется два типа древесных материалов (досок). В таблице приведены нормативы затрат каждого из материалом (м) и трудовых ресурсов (чел.-час.) на изготовление единицы каждого вида продукции, а также прибыль от реализации единицы изделия и общие объемы наличных ресурсов каждого типа.
	Изделия	Затраты на единицу изделия				Объем ресурсов
		столы	стулья	шкафы платяные	шкафы книжные
	Доски I типа, м	5	1	12	15	1500
	Доски II типа, м	3	2	6	5	1000
	Трудовые ресурсы, чел.-час.	7	5	10	12	3200
	Прибыль, грн.	60	25	120	110	–

Определить:

• Ассортимент продукции, максимизирующий прибыль фабрики в данных условиях.

• Оптимальный ассортимент при условии, что столов нужно произвести не менее 40, стульев – не менее 120, платяных шкафов – не менее 20 и книжных шкафов – не более 20.

б) Построить математическую модель задачи.

1. Предприятие выпускает три вида изделий. Месячная программа выпуска составляет 200 изделий первого вида, 1800 – второго, 1500 – третьего. Для выпуска изделий используют материалы, ежемесячные затраты которых не могут превышать 61000 кг. На одно изделие 1-го вида расходуется 8 кг материала, 2-го – 10 кг, 3-го – 11 кг. Оптовая цена одного изделия первого вида 7 грн., второго и третьего – соответственно 10 грн. и 9 грн. Определить оптимальный план выпуска изделий, обеспечивающий предприятию максимальную выручку.

2. Мебельная фабрика изготовляет столы, стулья, бюро и книжные шкафы, используя два различных вида досок, причем фабрика имеет 500 м досок первого вида и 1000 м досок второго. Кроме того, заданы трудовые ресурсы в количества 800 чел./час. В таблице приведены нормативы затрат каждого вида ресурсов на изготовление одного изделия и доход на одно изделие.

Ресурсы	Затраты на одно изделие
	столы	стулья	бюро	книжные шкафы
Доски I вида, м	5	1	9	12
Доски ІІ вида, м	2	3	4	1
Трудовые рсурсы, чел./час	3	2	5	10
Доход на одно изделие (грн.)	12	5	15	10

Определить оптимальный ассортимент, максимизирующий доход.

3. Для перевозки груза используют машины типов А и Б. Грузоподъемность машин каждого типа 3 т. За один раз машина расходует 1,5 кг смазочных материалов и 50 л бензина. Затраты на эксплуатацию машины А составляют 80 грн., Б – 50 грн. Необходимо перевести 60 т груза. Сколько нужно использовать машин типов А и Б, чтобы эксплуатационные затраты были минимальные?

4. На звероферме могут выращивать черно-бурых лисиц и песцов, для которых заготавливают три вида кормов. Количество корма каждого вида, который должны ежедневно получать звери, общее количество корма каждого вида, которое может быть использовано фермой, и доход от реализации одной шкурки лисицы и песца представленные в таблице:

Вид корма	Количество единиц корма		Общее количество корма
	лисица	песец
1	2	3	360
2	4	1	480
3	6	7	852
Доход от реализации одной шкурки (грн.)	320	250

Определить сколько лисиц и песцов необходимо вырастить на ферме, чтобы доход от реализации их шкурок был максимальный.

5. Для перевозки груза на трех направлениях могут быть использовании корабли трех типов. Грузоподъемность кораблей при использовании их на различных направлениях характеризуется числами, приведенными в таблице. В ней указывается также общее время эксплуатации и минимально необходимые объемы перевозки на каждом из направлений. Определить какой корабль, на каком направлении и на протяжении какого времени необходимо использовать, чтобы обеспечивать максимальную загрузку кораблей с учетом возможного времени их эксплуатации.

Вид кораблей	Грузоподъемность кораблей (млн. т./км за пору) на направлении			Общее время эксплуатации
	1	2	3
1	9	15	12	300
2	7	16	14	300
3	13	13	5	300
Объем перевозок, млн.т	4000	5400	4300

6. На трех группах оборудования необходимо изготовить изделия четырех видов. Установлен план производства: изделий типа А – 2000 шт., Б – 1000 шт., В – 200 шт., Г – 250 шт. Данные о себестоимости каждого изделия, трудоемкости и фон рабочего времени заданы в таблице.

Оборудование	Себестоимость одного изделия, грн.				Время на изготовление одного изделия, мин.				Фонд времени, мин.
	а	б	в	г	а	б	в	г
1	1,5	2,4	0,9	1,4	4	8,0	2,5	4,0	35000
2	1,8	1,2	1,0	1,7	2,5	1,2	1,0	1,7	16000
3	2,7	5,4	6,0	5,6	3,5	1,5	1,0	1,2	22000

Составить план загрузки оборудования, при котором минимизируются себестоимость изготовленных изделий.

7. Распределить четыре сорта топлива, которое имеется в количествах 70, 40, 50, 40 т соответственно каждого сорта, между пятью агрегатами, потребности которых составляют 20, 40, 50, 60 и 40 т соответственно. Задана матрица теплообразовательной способности: , где С_ij –теплообразовательная способность і-го сорта топлива при использовании его в j-му агрегате. Найти оптимальное распределение топлива между агрегатами, при котором будет получено максимальное количество теплоты от всего запаса топлива.

8. В заводской лаборатории создается антифрикционный сплав (оловянистый баббит), который должен содержать: олова – не меньше 15%, сурьмы – не меньше 15%, свинца – около 70%. Есть четыре сплава, процентный состав и цены на которые приведенные в таблице:

Элементы	Сплав
	1	2	3	4
Олово	12	20	12	20
Сурьма	12	18	18	14
Свинец	76	62	70	66
Цена 1 кг	3, 5	5, 2	4, 0	4, 6

Рассчитать количество элементов для сплава каждого вида, необходимое для 1 кг смеси, которая бы обеспечила минимальные затраты.

9. На трех складах оптовой базы находится однородный груз в количествах 200, 80 и 100 ед. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина, каждый из которых получает соответственно 130, 50, 70, 90 ед. груза. Тарифы перевозки единицы груза из каждого склада во все магазины задаются матрицей: . Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок будет минимальной.

10. Собранный урожай зерна трех сельскохозяйственных артелей должен быть перевезен на три элеватора, элеватора А₁ мощностью 100 тыс.т, элеватор А₂ мощностью 80 тыс.т и элеватор А₃ мощностью 90 тыс.т. Известные транспортные затраты C_ij перевозки 1 т зерна от каждой артели к каждому элеватору, а также запасе зерна артелей, которые приведены в таблице:

С/х артель	Затраты на перевозку 1 т зерна на элеваторы, тыс. грн.			Запасы зерна, тыс.т
	В1	В2	В3
А1	12, 5	24, 0	18, 4	80
А2	28, 3	14, 5	25, 7	90
А3	15, 7	20, 6	16, 3	100

Определить план перевозки зерна на элеваторы, минимизирующий транспортные затраты.

11. При производстве продукции Р₁ и Р₂ используют 4 группы оборудования А, В, С и D. На выпуск единицы продукции Р₁ расходуется в единицу времени 1; 0,5; 2 и 0 ед. оборудования А, В, С и D соответ­ственно, а единицы продукции Р₂ – 1; 1; 0 и 2 ед. оборудования А, В, С и D. Фонд рабочего времени группы А составляет 18, В – 12, С – 24 и D – 18 ед. времени. Предприятие реализует единицу продукции Р₁ по цене 40 ден.единиц, Р₂ – 60 ден.единиц. Найти план выпуска про­дукции, при котором выручка предприятия будет максимальной.

12. Для кондитерской фабрики требуется рассчитать оптимальный по прибыли план выпуска карамели. Весь ассортимент карамели раз­делен на три однородные группы, условно обозначенные K₁, K₂ и К₃. Для производства карамели требуется сахарный песок, патока, фруктовое пюре. В таблице указаны запасы этих видов сырья в тоннах; прибыль на единицу каждого вида выпускаемой карамели в ден.ед. за 1 тонну; нормы расхода сырья на производство единицы каж­дого вида.

Вид сырья	Нормы расхода			Запас сырья
	K1	K2	K3
Сахарный песок	0,8	0,5	0,6	700
Патока	0,4	0,4	0,3	300
Фруктовое пюре	–	0,1	0,1	150
Прибыль от реализации	1000	1100	1200

Другие виды сырья, входящие в готовый продукт в небольших количествах, не учитываются. Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

13. В опытном хозяйстве установили, что откорм животных выгоден тогда, когда животное будет получать в дневном рационе не менее 6 ед. питательного вещества А, не менее 12 ед. вещества В и не менее 4 ед. вещества С. Для кормления животных используется два вида корма. В таблице показано, сколько единиц каждого питательного вещества содержит 1 кг корма каждого вида.

Питательные вещества	Виды корма
	I	II
А	2	1
В	2	4
С	0	4

Цена 1 кг корма вида I равна 50 ден.ед., корма вида II – 60 ден.ед. Сколько корма каждого вида необходимо расходовать ежедневно, чтобы затра­ты на него были минимальными?

14. С вокзала можно отправлять ежедневно скорые и курьерские поезда. Вместимость вагонов и наличный парк вагонов указаны в таблице:

Число вагонов в поезде	Тип вагона
	багажный	почтовый	плац­картный	купейный	мягкий
курьерском	1	—	5	6	3
скором	1	1	8	4	1
Число пассажиров	—	—	58	40	32
Парк вагонов	12	8	81	70	27

Составить математическую модель и выбрать такое соотношение между числом скорых и курьерских поездов, чтобы число пассажиров, которых можно отправить ежедневно, достигло максимума.

15. В овощной магазин привозят одним видом транспорта картофель из трех колхозов соответственно 40, 30 и 10 ден. ед. за 1 кг. На разгрузку и складирование 1 т. картофеля с помощью ленточного транспортера требуется времени: из первого колхоза – 1 мин., из второго – 4 мин., из третьего – 3 мин. (разное время разгрузки объясняется различием затоваривания картофелем). Чтобы без задержки удовлетворять потребность покупателей, нужно на разгрузку 12 тонн картофеля, заказываемых ежедневно магазином, затрачивать не более 40 мин. Из­вестно, что первый колхоз может ежедневно поставлять не более 10 т, второй – не более 8 т, третий – не более 6 т картофеля. Сколько картофеля надо привозить в магазин из каждого колхоза, чтобы общая стоимость картофеля была минимальной?

16. Бригада приняла заказ на изготовление 50 ед. продукции P₁, 30 ед. продукции Р₂ и 45 ед. продукции Р₃. Продукция производится на станках А и В. Для изготовления на станке А единицы продукции Р₁ требуется 4 ед. времени, единицы продукции Р₂ – 40 ед., единицы продукции Р₃ – 10 ед., на станке В – соответственно 6, 8 и 20 ед. времени. Необходимо найти план использования оборудования, т.е. указать, сколько продукции и какого вида следует изготовить на станках А и В, чтобы заказ был выполнен в минимальное время.

17. Для сохранения нормальной жизнедеятельности человек должен в сутки потреблять белков не менее 120 ден.ед., жиров не менее 70 и витаминов не менее 10 ден.ед. Содержание их в продуктах Р₁ и Р₂ равно соответственно (0,2; 0,075; 0) и (0,1; 0,1; 0,1). Стоимость 1 ед. продукта Р₁ – 2 ден.ед., Р₂ – 3 ден. ед. Требуется так организовать питание, чтобы его стоимость была минимальной, а организм получил необходимое количество питательных веществ.

18. Предприятие электронной промышленности выпускает две модели радиоприемников. Каждая модель производится на отдельной технологической линии. Суточный объем производства первой линии – 60 изделий, второй – 75. На радиоприемник первой модели расходуется 10 однотипных элементов электронных схем, второй модели – 8. Наибольший суточный запас используемых элементов равен 800 ед. Прибыль от реализации одного радиоприемника первой и второй мо­делей соответственно 3000 и 2000 ден.ед. Определить оптимальные суточные объемы производства первой и второй моделей.

19. Процесс изготовления промышленных изделий двух видов X₁ и Х₂ состоит в последовательной обработке каждого из них на трех станках. Время использования этих станков для производства данных изделий ограничено 10 часами в сутки. Время обработки одного изделия (в мин.) и прибыль от продажи одного изделия каждого вида указана в таблице:

Станки	Выпускаемая продукция		Лимит времени
	X1	Х2
1 2 3	10 6 8	5 20 15	10 10 10
Прибыль	200	300

Найти оптимальные объемы производства изделий каждого вида, максимизирующие прибыль.

20. Фирма имеет возможность рекламировать свою продукцию, используя местные радио- и телевизионные сети. Затраты на рекламу в бюджете фирмы ограничены 100000 ден.ед. в месяц. Каждая минута радиорекламы обходится в 500 ден.ед., а каждая минута телерекламы – в 10000 ден.ед. Фирма хотела бы использовать радиосеть по край­ней мере в 2 раза чаше, чем телевидение. Опыт прошлых лет показал, что объем сбыта, который обеспечивает каждая минута телерекламы, в 25 раз больше сбыта, обеспечиваемого одной минутой радиорекламы. Определить оптимальное распределение финансовых средств, ежеме­сячно отпускаемых на радио- и телерекламу.

21. В районе лесного массива имеются лесопильный завод и фа­нерная фабрика. Чтобы получить 2,5 м³ коммерчески реализуемых комплектов пиломатериалов, необходимо израсходовать 2,5 м³ еловых и 7,5 м³ пихтовых лесоматериалов. Для приготовления 100 м² фанеры требуется 5 м³ еловых и 10 м³ пихтовых лесоматериалов. Согласно ус­ловиям поставок в течение планируемого периода необходимо про­извести, по крайней мере, 10 м³ пиломатериалов и 1200 м³ фанеры. Доход с 1 м³ пиломатериалов составляет 1600 ден.ед., а со 100 м² фане­ры – 6000 ден.ед. Определить оптимальный план производства пило­материалов и фанеры.

22. Предприятие производит продукцию двух видов Р₁ и Р₂. Для изготовления продукции Р₁ и Р₂ используется одно и то же сырье, суточный запас которого равен 100 кг. Расход сырья на единицу продукции Р₁ равен 2 кг, а на единицу про­дукции Р₂ – 4 кг. Цены продукции Р₁ и Р₂ – 20 и 40 ден.ед. соответ­ственно. Определить оптимальное распределение сырья для изготов­ления продукции Р₁ и Р₂, чтобы прибыль от реализации была максимальной.

23. Фирма выпускает шляпы двух фасонов. Трудоемкость изготов­ления шляпы первого фасона вдвое выше трудоемкости изготовления шляпы второго фасона. Если бы фирма выпускала только шляпы пер­вого фасона, то суточный объем производства мог бы составить 500 шляп. Суточный объем сбыта шляп обоих фасонов ограничен – 200 штук. Прибыль от продажи шляпы первого фасона равна 80 ден.ед., второго – 50 ден.ед. Определить оптимальный план выпуска шляп, максимизирующий прибыль.

24. Имеются корма двух видов: сено и силос. Их можно использовать для кормления скота в количестве соответственно не более 50 и 85 кг. Составить кормовой рацион минимальной стоимости, в котором содержится не менее 30 кормовых единиц, не менее 1 кг протеина, не менее 100 г кальция, не менее 80 г фосфора. Данные о питательности кормов и их стоимости в расчете на 1 кг приведены в таблице.

Питательные вещества	Корма		Нижняя норма, содержания питательных веществ
	сено	силос
Кормовые единицы, кг Протеин, г Кальций, г Фосфор, г	0,5 40 1,25 2	0,3 10 2,5 1	30 1000 100 80
Себестоимость 1 кг, ден. ед.	12	8

25. Предприятие может выпускать продукцию двух видов: Р₁ и Р_г Используются три вида ресурсов: оборудование, сырье и электроэнергия. Нормы расхода, лимиты ресурсов и прибыль от единицы продукции представлены в таблице:

Ресурсы	Нормы расхода на единицу продукции		Объем ресурса
	Р1	Р2
Оборудование Сырье Электроэнергия	2 1 2	3 1 1	31 12 20
Прибыль за ед. продукции, ден. ед.	40	25

Найти оптимальный план выпуска продукции.

26. На приобретение оборудования для нового производственного участка выделено 300 тыс. ден. ед. Его предполагается разместить на площади 45 м². Участок может быть оснащен оборудованием трех видов: 1) машинами стоимостью 6 тыс. ден. ед. (здесь и далее все пока­затели приводятся на единицу оборудования), размещающимися на площади 9 м², производительностью 8 тыс. ед. продукции за смену; 2) машинами стоимостью 3 тыс. ден.ед., занимающими площадь 4 м², производительностью 4 тыс. единиц продукции за смену; 3) машинами стоимостью 2 тыс. ден. ед., занимающими площадь 3 м², производительностью 3 тыс. ден. ед. продукции. Построить модель задачи определения плана приобретения оборудования, обеспечивающего наибольшую производительность всего участка.

27. Механический цех может изготовить за смену 600 деталей N₁ или 1200 деталей N₂. Производственная мощность термического цеха, куда эти детали поступают на термообработку в тот же день, позволяет обработать за смену 1200 деталей N₁ или 800 деталей N₂. Цены на детали одинаковые. Определить производственную программу выпуска деталей, максимизирующую товарную продукцию предприятия при условии, что оба цеха работают одну смену.

28. Предприятие может работать по пяти технологическим процессам T₁, T₂, T₃, T₄ и Т₅ причем количество единиц выпускаемой продукции по разным технологическим процессам за 1 ед. времени соответственно равно 300, 260, 320, 400 и 450шт. В процессе производства учитываются следующие производственные факторы: сырье, электроэнергия, зарплата и накладные расходы. Затраты соответствующих факторов при работе по разным технологиям в течение 1 ед. времени указаны в таблице. Найти программу максимального выпуска продукции.

Производственные факторы	Затраты на различных технологиях					Наличие фактора
	Т1	Т2	Т3	Т4	Т5
Сырье	15	20	12	14	18	2000
Электроэнергия	0,20	0,30	0,15	0,25	0,30	300
Накладные расходы	4	5	6	3	2	1000
Зарплата	6	3	4	6	3	1600

29. На пяти станках различных типов можно выполнять пять операций по обработке деталей. При этом, в силу технологии производства за каждым из станков может быть закрепленная только одна операция и одна операция может выполняться только одним станком. Зная время выполнения каждой из операций на каждом из станков, которое задается матрицей

.

Нужно распределить выполнения операций между станками так, чтобы суммарное время на обработку деталей было минимальным.

30. Для изготовления сплава из свинца, цинка, олова определенного состава используется сырье в виде пяти сплавов из тех же металлов, отличающихся составом и стоимостью 1 кг:

Тип сплава	Содержание металла, %			Удельная стоимость, ден. ед./кг
	Свинец	Цинк	Олово
I	15	40	45	8
II	10	80	10	17
III	30	30	40	10
IV	40	25	35	12
V	10	70	20	15

Какое количество сплава каждого вида нужно взять, чтобы изготовить при минимальной себестоимости сплав, содержащий 20% свинца, 30% цинка и 50% олова?