1.1.2. Імовірності подій

Події природно порівнювати за тим, як часто кожна з них відбувається при повторенні даного випробування. Якщо при повторенні випробування одна подія з’являється частіше, ніж інша, то говорять, що перша подія ймовірніша за другу. При цьому для порівняння подій необхідно, щоб дане випробування можна було б повторити скільки завгодно разів при додержанні одного і того ж комплексу умов. Отже, для порівняння подій необхідна певна міра їх об’єктивної можливості.

 Частотою появи події А (статистичною ймовірністю) називається відношення числа її появ до числа усіх проведених випробувань

. (1.1)

Важливим експериментально встановленим фактом є властивість стійкості частот. При збільшенні числа випробувань частоти подій коливаються біля деяких чисел, які не залежать ні від кількості, ні від серії випробувань. Причому частоти необмежено наближаються до цих чисел, коли кількість випробувань наближається до нескінченності (в теорії ймовірностей цей факт називається законом великих чисел). Ці числа природно пов’язати з кожною подією, яка відбувається у випробуванні. Вони називаються ймовірностями і в теорії ймовірностей визначаються чисто аксіоматично.

Аксіоматичний підхід до означення ймовірності пов’язує сучасну теорію ймовірностей з теорією множин і у теперішній час є загальноприйнятим. Аксіоматичне означення ймовірності, як частинні випадки, включає в себе класичне і статистичне означення ймовірності. Згідно з аксіоматичною теорією поняття ймовірності подій формулюється наступним чином. Числова функція , визначена на множині подій U, називається ймовірністю, якщо виконуються умови (аксіоми ймовірності):

 А1. для усіх U, тобто імовірність будь-якої події невід’ємна;

 А2. , тобто імовірність вірогідної події дорівнює 1 (нормованість);

 А3. Імовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

Із цих аксіом випливають такі властивості імовірності:

1. Імовірність будь-якої події U є відповідним числом із відрізку тобто

Випливає із аксіом А1 і А2, оскільки

2. Якщо то

Оскільки то за аксіомою А3

. (1.2)

Звідси випливає вказана властивість.

2. Якщо то

Це співвідношення випливає із (1.3).

4) Сума ймовірностей протилежних подій завжди дорівнює 1:

. (1.3)

Випливає із аксіоми А3, оскільки Із (4) випливає, що

5) Імовірність неможливої події дорівнює нулю, тобто

Випливає із (4) і аксіоми А2.

6) Якщо – несумісні події ( для будь-яких ), то із аксіоми А3 випливає, що

(1.4)

Ця рівність називається формулою складання ймовірностей несумісних подій.

7. Для будь-яких подій А і В

. (1.5)

Випливає із аксіоми А3: і властивості 1):

Сума ймовірностей усіх подій, пов’язаних з певним випробуванням, дорівнює 1 (у такому разі говорять, що ці події складають повну групу подій).

Імовірність появи однієї із двох несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій:

(1.6)

Якщо попарно несумісні події, то

(1.7)

Якщо події утворюють повну групу, то

(1.8)

Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:

(1.9)

Імовірність суми двох подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без імовірності їх добутку, тобто для довільних подій А і В

(1.10)