- •3. Застовування диференціального числення
- •3.1. Дослідження функцій однієї змінної
- •3.1.1. Умови зростання і спадання функці
- •3.1.2. Локальні екстремуми
- •3.1.3. Абсолютні екстремуми
- •3.1.4. Опуклість, угнутість, точки перегину кривих
- •3.1.5. Асимптоти
- •3.1.6. Загальна схема дослідження функцій та побудови їх графіків
- •I. Перша частина.
- •I. Перша частина.
- •II. Друга частина.
- •III. Третя частина.
- •I. Перша частина.
- •3.1.7. Текстові екстремальні задачі
- •3.2. Екстремуми функцій декількох змінних
- •3.2.1. Локальні екстремуми а. Означення
- •Б. Необхідна умова існування локального екстремуму
- •В. Достатня умова існування локального екстремуму
- •3.2.2. Метод найменших квадратів
- •3.2.3. Умовні екстремуми а. Означення
- •Б. Необхідна умова існування умовного екстремуму
- •В. Достатня умова існування умовного екстремуму
- •3.2.4. Абсолютні екстремуми
- •Деякі українсько-російські терміни і словосполучення. Частина 1 Дійсні числа
- •Відображення і функція
- •Комплексні числа і многочлени
- •Вступ до аналізу
- •Диференціальне числення
- •Застосування диференціального числення
- •3. Застовування диференціального числення 119
- •3.1. Дослідження функцій однієї змінної 119
- •3.2. Екстремуми функцій декількох змінних 147
3. Застовування диференціального числення
3.1. Дослідження функцій однієї змінної
3.1.1. Умови зростання і спадання функці
Теорема 1 (необхідна умова зростання функції). Якщо диференційовна функція однієї змінної зростає на деякому інтервалі, то її похідна на цьому інтервалі є невід"ємною.
■Нехай функція зростає на інтервалі (a, b), x – довільна точка інтервала, а приріст арґументу x настільки малий, що точка лежить на (a, b) (рис. 1). Якщо приріст арґументу додатний, , тобто , то приріст функції в точці x додатний,
,
Fig. 1 а тому . Якщо ж , , то приріст функції в точці x від"ємний,
,
тому . Таким чином, в обох випадках ( і ) відношення приросту функції до відповідного приросту арґументу додатне. На ос-нові теорії границь (див. п. 1.1.3. А, властивість 4) похідна функції в точці x є невід"ємною, тобто
.■
Зауваження. Аналогічно, нерівність на інтервалі (a, b) є необхід-ною умовою спадання функції на (a, b).
Теорема 2 (достатня умова зростання функції). Якщо функція неперервна на деякому відрізку , а на інтервалі (a, b) має додатну похідну, , то функція зростає на .
■Нехай на інтервалі (a, b), а - дві довільні точки відрізка такі, що (рис. 2). За теоремою Лагранжа існує точка , для якої
.
Рис. 2 Оскільки і, згідно з умовою теореми, , маємо
,
тобто функція зростає на відрізку .■
Зауваження. Аналогічно, нерівність на інтервалі (a, b) є достатньою умовою спадання функції на відрізку , якщо вона неперер-вна на цьому відрізку.
Приклад. Довести, що функція, яка неявно задана рівнянням еліпса
,
спадає на відрізку .
■За правилом диференціювання неявної функції маємо
.■
Приклад. Функції, які неявно задано відповідно рівняннями гіперболи і параболи
,
зростають в першому квадранті.
Достатньо ще раз застосувати правило диференціювання неявної функції, згідно з яким відповідно
Завершіть доведення самостійно.
3.1.2. Локальні екстремуми
Означення 1. Точка називається точкою локального максимуму функції , якщо існує деякий окіл цієї точки ( на рис. 3) такий, що для будь-якої точки з проколе- Рис. 3 ного околу виконується нерівність
.
Значення функції в точці , тобто , називається локальним максимумом функії.
Аналогічно означається точка локального мінімуму і локальний мінімум функції (точки на рис. 3 і відповідні значення функції).
Терміни локальний максимум і локальний мінімум об"єднуються спільним терміном локальний екстремум.
Означення 2. Точка з області визначення функції називається критичною точкою функції, якщо її похідна в цій точці дорівнює нулю або не існує.
Зокрема,
Означення 3. Точка називається стаціонарною точкою функції, якщо її похідна в цій точці дорівнює нулю,
Теорема 3 (необхідна умова існування локального екстремуму). Якщо функція має локальний екстремум в точці , то ця точка є критичною точкою функції.
Справедливість теореми випливає з теореми Ферма.
Зауваження. З теореми 3 випливає, що функція може мати локальний екстремум тільки в своїй критичній точці. З іншого боку, критична точка не обо-в"язково є точкою локального екстремуму, тобто необхідна умова існування екстремуму зовсім не є достатньою.
Приклад. Точка є критичною (а саме стаціонарною) для функції
( ), але вона не є точкою локального екстремуму, оскільки при і при .
Теорема 4 (перша достатня умова існування локального максимуму). Якщо функція не- Рис. 4 перервна в своїй критичній точці , в інтервалі , в інтервалі (рис. 4), то функція має локальний максимум в цій точці.
■Доведення випливає з теореми 2 і подальшого зауваження до неї: функція зростає в інтервалі , спадає в інтервалі і, крім того, є неперер-вною в точці . Отже, вона має в цій точці локальний максимум.■
Аналогічно дається достатня умова існування локального мінімуму в критичній точці, якщо нерівності в умові теореми 4 замінити на такі: в інтервалі , в інтервалі . Функція, графік якої зображено на рис. 4, має локальний мінімум в критичній точці b (зауважмо, що похідна функції в цій точці не існує, бо точка є кутовою точкою графіка функції).
Теорема 5 (друга достатня умова існування локального екстремуму функ-ції в її стаціонарній точці). Нехай - стаціонарна точка функції , тобто (див. означення 3), і, крім того, друга похідна функції в цій точці відмінна від нуля, . За цих умов точка є точкою локального максимуму при і точкою локального мінімуму при .
■Нехай, наприклад,
.
З теорії границь випливає (див. п. 1.1.3. А, властивість 4), що для достатньо малого приросту арґументу маємо
.
З останьої нерівності випливає, що при і
при Отже, функція зростає зліва від точки і спадає праворуч від неї, і, таким чином, має локальний максимум в цій точці.■
Зауваження. З теорії границь (п. 1.1.3. А, властивість 3) випливає, що якщо функція є неперервною в точці a і має в ній додатне значення,
,
то вона є додатною в деякому околі точки a.
Виходячи з останнього зауваження, ми можемо дати інше доведення теореми 5, якщо додатково припустимо, що функція в деякому околі точки має похідну другого порядку, неперервну в самій точці. У цьому випадку ми в змозі застосувати для доведення теореми формулу Тейлора.
■ Нехай, наприклад, . На підставі припущення і зробленого зауваження маємо в деякому околі точки . Візьмемо спільну частину околів і і подамо приріст функції в точці фор-мулою Тейлора (див. (24) в п. 2.3.4. В) для ,
.
Тут , а c – деяка точка з околу , причому . Отже, в при-ріст функції є від"ємним, тобто >0 і тому для будь-якої точки , відмінної від . Це значить, що функція має локальний максимум в точці .■
Приклад. Знайти інтервали зростання, спа-дання і локальні екстремуми функції
. Рис. 5 Розв"язання. Функція визначена на множині всіх дійсних чисел. Її похідна дорівнює
,
вона дорівнює нулю в точці і не існує в точці . Ці точки, тобто , , є критичними точками функ-ції. Методом інтервалів знаходимо інтервали, в яких похі-дна функції має сталий знак (коротше – інтервали знако-сталості похідної). Розподіл знаків (див. рис. 5) свідчить про те, що функція зростає на інтервалі і спадає на Рис. 6 інтервалі . Отже, вона має локальний мінімум в точці , рівний
.
Зауваження. Задана функція дорівнює нулю в точках , додатна на об"єднанні , від"ємна на , її границя на дорівнює . Приблизний графік функції показано на рис. 6. Графік проходить через точки
,
для лежить вище, а для - нижче осі . При прямуванні x до він необмежено здіймається вгору.