339

Диференціальні рівняння першого і другого порядків

Диференціальні рівняння

5. Диференціальні рівняння першого і другого порядків

5.1. Загальні поняття

Означення 1. Рівняння відносно шуканої функції називається диференціальним, якщо воно містить похідну або похідні цієї функції.

Означення 2. Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідних шуканої функції, які входять в рівняння.

Загальна форма диференціального рівняння першого порядку відносно шуканої функції має вигляд

, ( 1 )

а другого порядку - вигляд

. ( 2 )

Означення 3. Розв"язком диференціального рівняння називається функція , яка задовольняє його, тобто перетворює його на тотожність.

Так, функція є розв"язком диференціального рівняння першого порядку (1), якщо .

Означення 4. Інтеґральною кривою диференціального рівняння називається графік його розв"язку.

Кожне диференціальне рівняння має нескінченну множину розв"язків, а отже – і інтеґральних кривих.

Приклад 1. Множина всіх розв"язків диференціального рівняння

дається виразом

,

де C – довільна стала.

Щоб вибрати якийсь певний розв"язок диференціального рівняння, задають додаткові умови.

Розрізнюють граничні, або крайові, і початкові умови.

Приклад 2. В деяких розділах так званої математичної фізики розглядається така задача: знайти розв"язки диференціального рівняння

,

які задовольняють граничні (крайові) умови

Відомо, що так поставлена задача має нескінченну множину розв"язків (власних функцій)

,

кожне з яких відповідає цілком визначеному значенню (власному значенню)

.

Ми будемо, як правило, розглядати тільки початкові умови.

Для диференціального рівняння першого порядку (1) ми задаємо одну початкову умову, а саме:

. ( 3 )

Для диференціального рівняння другого порядку (2) задаються дві початкові умови

. ( 4 )

Означення 5. Задача відшукання розв"язку диференціального рівняння, який задовольняє початкову умову або початкові умови, називається задачею Коші.

Для диференціального рівняння першого порядку (1) ми маємо задачу Коші (1), (3), а для рівняння другого порядку (2) - задачу Коші (2), (4).

Геометричний сенс задачі Коші (1), (3): знайти інтеґральну криву, яка проходить через точку .

Геометричний сенс задачі Коші (2), (4): знайти інтеґральну криву, яка проходить через точку і має в ній заданий кутовий коефіцієнт дотич-ної.

Приклад 3. Знайти криву, яка проходить через точку , якщо кутовий коефіцієнт дотичної в довільній її точці дорівнює .

Ми повинні розв"язати задачу Коші для диференціального рівняння першого порядку

з початковою умовою

.

Рівняння дає

,

а з початкової умови ми знаходимо значення сталої C,

,

і, отже, рівнянням шуканої лінії є

.

Теорія диференціальних рівнянь встановлює умови однозначної розв"яз-ності задачі Коші.

Розглянемо спочатку диференціальне рівняння першого порядку, розв"я-зане відносно похідної шуканої функції, тобто

( 5 )

Теорема 1. Якщо функція та її частинна похідна по y неперервні в деякій області D площини , то для будь-якої точки

задача Коші (5), (3) має розв"язок, причому єдиний. Він визначений на певному інтервалі осі , який містить точку .

Означення 6. Загальним розв"язком диференціального рівняння першого порядку (5) в області D, про яку йдеться в теоремі 1, називається функція , яка містить довільну сталу C і задовольняє дві умови: а) вона є роз-в"язком рівняння для будь-якого значення C; б) для довільної початкової умови (3), такої, що точка лежить в області D, можна знайти таке значення сталої C, щоб функція задовольняла цю початкову умову.

Приклад. Нехай функція є розв"язком диференціального рівняння першого порядку

.

Тоді загальним розв"язком рівняння буде функція

,

де - довільна стала.

Дійсно, вона, очевидно, є розв"язком даного диференціального рівняння при довільному значенні . Якщо, далі, задати довільну початкову умову (3) таку, що , то

,

і функція

задовольняє початкову умову.

Означення 7. Якщо стала C в загальному розв"язку диференціального рівняння (5) набуває якогось частинного значення , то відповідна функція називається частинним розв"язком цього рівняння.

Частинним розв"язком є, наприклад, розв"язок задачі Коші.

Розглянемо тепер диференціальне рівняння другого порядку, розв"язане відносно другої похідної шуканої функції,

. ( 6 )

Теорема 2. Якщо функція та її частинні похідні по , тобто , неперервні в деякій області D тривимірного простору , то для будь-якої точки задача Коші (6), (4) має розв"я-зок, причому єдиний. Він визначений на деякому інтервалі осі , який містить точку .

Означення 8. Загальним розв"язком диференціального рівняння другого порядку (6) в області D теореми 2, називається функція , яка містить дві довільні сталі і задовольняє дві умови: a) вона є розв"язком рівняння для будь-яких значень ; b) для довільних початкових умов (4) (за умови, що ) можна знайти значення , сталих так, щоб задовольнити ці умови.

Для будь-яких частинних значень , констант ми маємо частинний розв"язок y рівняння (6), зокрема розв"язок задачі Коші (6), (4).

Зауваження 1. Загальний або частинний розв"язки диференціального рів-няння можуть бути заданими неявно. В такому випадку їх часто називають, від-повідно, загальним або частинним інтеґралами рівняння.

Зауваження 2. Аналогічні означення і теореми розглядаються і для диференціальних рівнянь n-го порядку (якщо n > 2).

Якщо ми шукаємо загальний розв"язок або розв"язок задачі Коші для даного диференціального рівняння, ми говоримо про його розв"язання або, частіше, його інтеґрування.