- •Глава 8. Рычаг. Сцепление и трение скольжения
- •8.1. Рычаг. Устойчивость при опрокидывании. Коэффициент устойчивости
- •Тогда на границе устойчивости
- •8.2. Сцепление и трение скольжения
- •8.3. Трение качения
- •Глава 9. Силы, произвольно расположенные в пространстве
- •9.1. Вычисление главного вектора и главного момента
- •Системы сил, произвольно расположенных в пространстве
- •Главный момент системы сил
- •Модуль и направление главного момента определяются по формулам:
- •9.2. Возможные случаи приведения сил, произвольно расположенных в пространстве
- •Глава 10. Центр тяжести
- •10.1. Последовательное сложение параллельных сил. Центр параллельных сил
- •10.2. Формулы радиуса-вектора и координат центра параллельных сил
- •10.3. Центр тяжести твердого тела
- •Для центра тяжести формулы примут вид
- •10.4. Центр тяжести плоской фигуры. Статический момент площади плоской фигуры относительно оси
- •10.5. Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести
- •10.6. Определение положения центра тяжести плоской фигуры по центрам тяжести ее частей. Способ отрицательных площадей
- •10.7. Примеры определения центра тяжести твердого тела
- •Расчетные данные
- •Геометрические характеристики элементов сечения
- •Положение центра тяжести некоторых фигур
- •Раздел II. Кинематика
- •Глава 1. Скорости точки при различных способах задания движения
- •1.1. Естественный способ задания движения точки, определение
- •Скорости точки
- •1.2. Векторный способ задания движения, определение скорости точки
- •1.3. Координатный способ задания движения точки, определение скорости точки
- •Глава 2. Ускорения точки при различных способах задания движения
- •2.1. Ускорение точки при задании ее движения
- •Векторным способом
- •2.2. Естественные координатные оси. Вектор кривизны
- •2.3. Ускорение точки при задании ее движения естественным способом
- •2.4. Ускорение точки при задании ее движения координатным способом
- •2.5. Определение радиуса кривизны траектории при координатном способе задания движения
- •2.6. Классификация движения точки по ускорениям ее движения
- •Основные формулы по кинематике точки
- •Глава 3. Простейшие движения твердого тела
- •3.1. Поступательное движение твердого тела
- •3.2. Вращательное движение твердого тела
- •3.3. Угловая скорость и угловое ускорение тела
- •3.4. Равномерное вращение твердого тела
- •3.5. Равнопеременное вращение твердого тела
- •3.6. Скорость и ускорение точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси
Раздел II. Кинематика
Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зрения, вне связи с силами, определяющими это движение. Слово «кинематика» происходит от греческого слова «кинема», что значит движение.
Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, т. е. понимаемое как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, охватывает собою все происходящие во вселенной изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением. Материя без движения так же немыслима, как движение без материи. В мире нет ничего кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени.
Таким образом, всякое движение происходит в пространстве и во времени, т. е. пространство и время представляют собой формы существования материи. Они так же объективно реальны, как и материя. Движение и материя существуют вечно и не могут быть ни созданы, ни уничтожены.
В теоретической механике изучается простейшая форма движения материи — механическое движение, т. е. происходящее во времени изменение положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом. Эта система может быть как движущейся, так и условно неподвижной.
При изучении движения на Земле за условно неподвижную систему отсчета обычно принимают систему осей, неизменно связанных с Землей.
Тело, положение которого по отношению к выбранной системе отсчета не изменяется, находится в состоянии относительного покоя (по отношению к этой системе).
Пространство в механике рассматривается как трехмерное евклидово пространство, и все измерения в нем производятся на основания методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении расстояний принимается метр.
Время в классической механике предполагается универсальным, т. е. одинаковым во всех системах отсчета и не зависящим от движения одной системы относительно другой. Оно рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина. За единицу времени принимается одна секунда, равная 1/(24∙3600) средних солнечных суток.
Все кинематические величины, характеризующие движение твердого тела и движение отдельной его точки (расстояния, скорости, ускорения), рассматриваются как функции времени.
Хотя евклидово пространство и универсальное время отражают реальные свойства пространства и времени лишь приближенно, тем не менее они позволяют с достаточной для практики точностью изучать движения, скорости которых далеки от скорости света.
Все кинематические характеристики движения твердого тела или отдельных его точек одинаковы для «материальных» и «геометрических» точек, поэтому ниже употребляется термин «точка» без пояснения «материальная» она или «геометрическая».
Глава 1. Скорости точки при различных способах задания движения
1.1. Естественный способ задания движения точки, определение
Скорости точки
Естественный способ задания движения точки применяется в случае, когда траектория точки заранее известна (движение транспортных средств по рельсовому пути, автомобильным дорогам).
Линия, представляющая собой геометрическое место последовательных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета, называется траекторией (рис. 2.1).
Траектория движения транспортных средств – дороги – характеризуются допустимой кривизной и наибольшим уклоном. Для железных дорог рекомендуются радиусы кривизны 400–4000 м, допустимые радиусы кривизны в трудных условиях 300–2000 м, наибольший уклон профиля 1,5–2,5 градуса. Для автомобильных дорог наименьший радиус кривизны может находится в пределах 250 – 260 м, а наибольший уклон – 4–5 градусов.
М
М0
Рис. 2.1
Положение движущейся точки М на траектории определяется дуговой координатой, т. е. расстоянием ОМ = s. При движении точки М расстояние s от этой точки до неподвижной точки О изменяется с течением времени, т. е. дуговая координата s является функцией времени:
.
Эта функция однозначна (точка в каждое мгновение занимает на траектории только одно положение), непрерывна (точка не может перейти из одного положения в другое, минуя промежуточное), дважды дифференцируема и называется уравнением движения.
Таким образом, движение точки определено, если известны следующие элементы: траектория точки, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения . Дуговая координата не всегда совпадает с длиной пути, пройденным движущейся точкой. Дуговая координата s точки М в некоторый момент времени t может быть равна пути, пройденному точкой за промежуток времени [0,t] только в том случае, если движение точки начинается из точки О (начала отсчета дуговой координаты) и совершается в положительном направлении.
Одной из основных кинематических характеристик движения точки является скорость. Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета. Размерность скорости , т.е. единицы длина/время. В качестве единиц измерения принимают обычно м/с или км/ч.
Модуль скорости равен абсолютному значению производной от дуговой координаты точки по времени.
.
Производная определяет алгебраическое значение скорости, знак этой производной указывает, в какую сторону по касательной к траектории (в направлении возрастания или убывания дуговой координаты s) направлен вектор скорости .