1.2.8. Интегрирование иррациональных функций
1. Интегралы вида
сводятся к интегралам от рациональной
функции относительно z подстановкой
,
где k – общий знаменатель дробей
.
2. Интегралы вида
Рационализирующая подстановка:
,
где k – общий знаменатель дробей
.
1.2.9. Интегрирование дифференциальных биномов
Рассмотрим интеграл вида
.
1. Если p – целое
число, то применяется подстановка
,
где s – общий знаменатель
дробей m и n.
2. Если
– целое число, то применяется подстановка
,
где s – знаменатель
дроби p.
3. Если
– целое число, то применяется подстановка
,
где s – знаменатель
дроби p.
Пример 1.25.
.
Дробь
раскладываем на простейшие дроби:
Пример 1.26.
.
Так
как m =
5,
n =
4, p =
1/2, то
– целое число. Имеем случай 2
интегрирования дифференциального
бинома. Тогда
Раскладываем дробь
на простейшие дроби:
.
Приведя дробь к общему знаменателю и приравняв числители, получим
2. Определенный интеграл
2.1. Формула Ньютона–Лейбница. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям. Вычисление площадей плоских фигур
2.1.1. Если f(x) непрерывна на [a, b] и F(x) – любая ее первообразная на этом отрезке, то имеет место формула Ньютона–Лейбница
.
Пример 2.1.
Вычислить определенный интеграл
.
Решение.
.
2.1.2. Если f(x) непрерывна на [a, b], а x = (t) непрерывно дифференцируема на [c, d], (t) 0, (c) = a, (d) = b, то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:
.
Пример 2.2.
Вычислить определенный интеграл
.
Решение.
2.1.3. Пусть u = u(x) и v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции на [a, b]. Тогда имеет место формула интегрирования по частям
.
Пример 2.3.
Вычислить определенный интеграл
.
Решение.
2.1.4. Площадь плоской фигуры
1. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми x = a, x = b,
(a < b), осью Ox и непрерывной кривой y = f(x) (f(x) 0) вычисляется по формуле
.
Пример 2.4. Найти площадь области, ограниченной линиями y = x2+1 и
y = 9 x2.
Решение. Построим область (рис 2.1). Найдем абсциссы точек пересечения
A, B:
,
.
Так как фигура симметрична относительно оси Oy, то
Рис. 2.1.
Пример 2.5.
Найти площадь фигуры, ограниченной
линиями y = x2, y = 4x,
2x + y
3 = 0,
(рис. 2.2).
Рис. 2.2.
Решение. Находим абсциссы точек пересечения A и B.
.
2. Если фигура ограничена кривой, заданной параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), t , прямыми x = a, x = b и осью Ox, то
,
где a = x(), b = x(), y(t) 0.
Пример 2.6.
Найти площадь фигуры, ограниченной
циклоидой
и прямой y = a, (а
0).
Решение. Для нахождения пределов интегрирования по t решаем систему
.
Площадь фигуры A1ACBB1 (рис. 2.3) выражается интегралом
.
Площадь прямоугольника
AA1B1B равна
,
так
как
.
Искомая площадь
.
Рис. 2.3.
3. Площадь сектора, ограниченного непрерывной кривой в полярных координатах = () и лучами = , = , ( > ), выражается интегралом
.
Пример 2.7.
Найти площадь фигуры, ограниченной
частью лемнискаты Бернулли
,
лежащей внутри окружности
.
Решение.
Уравнение лемнискаты Бернулли в полярных
координатах:
;
а окружности:
(рис. 2.4).
Решаем систему:
Отсюда
Рис. 2.4.