Определение предела функции

  Функцией, определённой на множестве Е со значениями в множестве F называется правило f, в соответствии с которым каждому элементу х из множества Е (х  Е) ставится в соответствие определённый элемент у из множества F (у   F). В этом случае пишут f: E → F, или у = f (х). Элемент х   Е называется аргументом функции, элемент у   F называют значением функции. Понятие множества считается интуитивно ясным. Множество задаётся правилом, согласно которому устанавливается, принадлежит ли данный элемент множеству или не принадлежит.   Определение. Точка х₀ = а   Е называется точкой сгущения множества А   Е, если произвольная окрестность точки х₀ содержит хотя бы одну точку множества А, отличную от х₀. Сама точка х₀ может принадлежать множеству А или не принадлежать.    Число А называется пределом функции f (х), если для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от ε число δ >0, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х₀| < δ выполняется неравенство | f (х) – А | < ε.   Используя логические символы, это определение можно записать в виде

(   ε > 0 ) (   δ = δ (ε) > 0 ) (  0 < | x - x₀ | < δ ) : | f (x) – A | < ε

  Определение. Окрестность точки х₀  (а, b) называется выколотой, если из неё удалена сама точка х₀.   Вышеприведённое определение функции в точке в этом случае можно перефразировать так: для любой как угодно малой ε - окрестности числа А существует такая выколотая δ - окрестность точки х₀, что для всех значений аргумента из этой выколотой δ - окрестности точки х₀ значения функции будут находиться в ε - окрестности числа А.   В связи с тем, что числовая ось задаёт взаимно однозначное соответствие между действительными числами и точками числовой оси, для нас понятие действительного числа и точки числовой оси будут синонимами.

Односторонние пределы

  Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента меньших чем х₀ и отличающихся от него на величину меньшую δ, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ε:

(   ε > 0 ) (   δ = δ (ε) > 0 ) (  x₀ - δ < x < x₀) : | f (x) – A | < ε.

  Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х₀, если для любого как угодно малого положительного числа ε можно найти зависящее от этого ε положительное число δ, что для всех значений аргумента больших, чем х₀ и отличающихся от него на величину меньшую чем δ, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ε:

(   ε > 0 ) (   δ = δ (ε) > 0 ) (  x₀< x < x₀+ δ) : | f (x) – В | < ε

   Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как

 и 

   Теорема. Функция f (x) имеет в точке х₀ конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам.        Доказательство. Пусть

Тогда, согласно определению предела функции слева и справа,

(   ε > 0 ) (   δ₁ = δ₁ (ε) > 0 ) (  x₀– δ₁ < x < x₀) : | f (x) – A | < ε.

(   ε > 0 ) (   δ₂ = δ₂ (ε) > 0 ) (  x₀< x < x₀+ δ₂) : | f (x) – A |<ε

Возьмем δ = min{δ₁,δ₂}. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенствам 0 < | х - х₀ | < δ, будет выполняться неравенство | f (x) - A | < ε. Что и означает

  Обратно, пусть

Тогда, по определению предела функции в точке, для любого как угодно малого положительного числа ε > 0 существует зависящее от этого ε число δ > 0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0 < | х - х₀| < δ, выполняется неравенство | f (х) – А | < ε. Тем самым, как для х₀– δ < х < х₀, так

и для х₀ < x < х₀ + δ, справедливо неравенство | f (х) – А | < ε. А это,согласно определению односторонних пределов, означает, что