8) Выпуклость вниз и выпуклость вверх графика функции в точке. Точки перегиба графика функции.

График имеет выпуклость вверх, если касательная к графику в этой точке находится над графиком. График имеет выпуклость вниз, если касательная в этой точке находится под графиком.

В том случает, если производная в точке равна нулю, а экстремума в этой точке нет, на графике функции будет точка перегиба (точка, в которой касательная к кривой пересекает кривую).

57) Доказать достаточные условия максимума и минимума функции в точке.

Пусть функция y=f(x) непрерывна в точке х₀ и имеет производную в некоторой окрестности (х₀-, х₀+) этой точки, тогда:

1. Если производная в левой полуплоскости точки х₀ положительна, а в правой отрицательна, то х₀ – точка максимума.

2. Если производная в левой полуплоскости точки х₀ отрицательна, а в правой положительна, то х₀ – точка минимума.

Доказательство теоремы Тейлора для одной вещественной переменной

Пусть

где, как указано в формулировке теоремы Тейлора,

Достаточно показать, что

Доказательство основано на повторяющемся применении правила Лопиталя. Заметим, что каждое j = 0,1,…,k−1, f = P. Отсюда каждая следующая производная числителя функции h_k стремится к нулю в точке x = a, и то же самое справедливо для знаменателя. Тогда

где переход от предпоследнего выражения к последнему следует из определения производной в точке x = a.

Теорема Тейлора даёт приближение к функции, дифференцируемой k раз, вблизи данной точки с помощью многочлена Тейлора k-го порядка. Для аналитических функций многочлен Тейлора в данной точке является конечной последовательностью их неполного ряда Тейлора, который, в свою очередь, полностью определяет функцию в некоторой окрестности точки.

Теорема Тейлора позволяет овладеть приёмами вычислений начального уровня, и она является одним из центральных элементарных инструментов в математическом анализе. При изучении математики она является начальной точкой для изучения асимптотического анализа . Теорема также используется в математической физике. Она также обощает анализ функций нескольких переменных и векторные функции f : R → R для любых измерений n и m. 

Правило Лопиталя представляет собой метод вычисления пределов, имеющих неопределенность  типа   или  .  Пусть a является некоторым конечным действительным числом или равно бесконечности.

Если   и  , то  ;

Если   и  , то аналогично  .

Правило Лопиталя можно также применять к неопределенностям типа  . Первые две неопределенности   можно свести к типу   или   с помощью алгебраических преобразований. А неопределенности   сводятся к типу   с помощью соотношения

Правило Лопиталя справедливо также и для односторонних пределов. 

1. Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (т. н. неопределённость вида  ).

Поскольку мы рассматриваем функции f и g только в правой проколотой полуокрестности точки a, мы можемнепрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть f(a) = g(a) = 0. Возьмём некоторый x из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку   теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но f(a) = g(a) = 0, поэтому  .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через A, из полученного равенства выводим:

 для конечного предела и

 для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

2. Докажем теорему для неопределённостей вида  .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен A. Тогда, при стремлении x к a справа, это отношение можно записать как A + α, где α — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем t из отрезка   и применим теорему Коши ко всем x из отрезка  :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для x, достаточно близких к a, выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как f(t) и g(t) — константы, а f(x) и g(x) стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен 1 + β, где β — бесконечно малая функция при стремлении x к a справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение  , что и в определении для α:

.

Получили, что отношение функций представимо в виде (1 + β)(A + α), и  . По любому данному   можно найти такое  , чтобы модуль разности отношения функций и A был меньше  , значит, предел отношения функций действительно равен A.

Если же предел A бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении β будем брать  ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при x, достаточно близких к a, а тогда  .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

Монотонность.

Функция называется возрастающей на некотором интервале I   D(f), если для любых x1, x2   I, удовлетворяющих неравенству x1<x2, выполняется неравенство f(x1)<f(x2). Пример возрастающей на интервале функции см. на рис.5.

Рисунок 5

 

Функция называется убывающей на некотором интервале I   D(f), если для любых x1, x2   I, удовлетворяющих неравенству x1<x2, выполняется неравенство f(x1)>f(x2). Пример убывающей на интервале функции см. на рис.6.

Рисунок 6

 

Если функция является возрастающей или убывающей на интервале I, то она называется монотонной на этом интервале, а I называют интервалом монотонности функции.

Достаточный признак возрастания функции на промежутке: пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на интервале I, и в каждой точке этого интервала f'(x)≥0, то функция возрастает на I. Достаточный признак убывания функции на промежутке: пусть функция y=f(x) определена и непрерывна на интервале I, и в каждой точке этого интервала f'(x)≤0, то функция убывает на I.