2.7 Задача д2. Общие теоремы динамики механической системы

Механическая система состоит ив прямоугольной вертикальной плиты 1 массой m₁ = 24 кг и груза D массой m₂ = 8 кг; плита или движется вдоль горизонтальных направляющих (рисунок Д2.0 – Д2.4), или вращается вокруг вертикальной оси z, лежащей в плоскости плиты (рисунок Д2.5 – Д2.9). В момент времени t₀ = 0 груз начинает двигаться под действием внутренних сил по имеющемуся на плите желобу по закону s = AD = F(t), заданному в таблице Д2, где s вы­ражено в метрах, t – в секундах. Форма желоба или прямолинейная, или выполнена по окружности радиуса R = 0,8 м с центром в центре масс C₁ плиты.

Плита на рисунке Д2.0 – Д2.4 в начальный момент времени непод–вижна, а на рисунке Д2.5 – Д2.9 имеет начальную угловую скорость ω₀ = 8 с^-1 и в этот момент на нее начинает действовать вращающий момент М (момент относительно оси z), заданный в таблице в Н*м и направленный как ω₀ при М > 0 и в противоположную сторону при М < 0. Ось z проходит от центра С₁ плиты на расстоянии b; размеры плиты показаны на рисунках.

Считая груз материальной точкой и пренебрегая всеми сопротивлениями, определить указанные в таблице Д2 величины: х₁ – перемещение плиты за время от t₀ = 0 до t₁ = 1 c, U₁ – скорость плиты в момент времени t1, N1 – полную силу нормального давления плиты на направляющие в момент времени t1, ω1 – угловую скорость плиты в момент времени t1, ω = f(t) – угловую скорость плиты как функцию времени.

Таблица Д2 Данные к задаче Д2

Номер условия	Рисунки 0 и 1	Рисунки 2 – 4	Найти на рисунках 0 – 4
	s = F(t)	= F(t)
1	2	3	4
0	0,6sin(πt2/3)	(π/3)R(t2 – 3)	x1
1	0,4(1 – 3t2)	(π/3)R(3 – 2t2)	U1
2	0,4sin(πt2)	(π/2)Rt2	N1
3	0,8cos(πt2/4)	(π/6)Rt2	U1

Продолжение таблицыД2

1	2	3	4
4	0,3(1 – 3t2)	(π/6)R(2t2 – 3)	x1
5	0,8sin(πt2/2)	(π/6)R(t2 – 1)	N1
6	0,6t2	(π/3)Rt2	U1
7	0,4(2t2 – 1)	πRt2	x1
8	0,6cos(πt2/2)	(π/6)R(3 – 5t2)	N1
9	1,2cos(πt2/6)	(π/4)Rt2	x1
Номер условия	Рисунки 5 – 7	Рисунки 8 и 9	На рисунках 5 – 9
	= F(t)	s = F(t)	b	M	Найти
1	2	3	4	5	6
0	(π/2)R(1 – 2t)	0,4sin(πt)	R/2	8	ω = f(t)
1	(π/6)R(1 + 2t2)	0,2(2 – 3t)	4R/3	0	ω1
2	(π/2)Rt2	– 0,8t	R	12t2	ω = f(t)
3	(π/3)R(4t2 – 1)	0,2(2 – 5t)	4R/3	0	ω1
4	(π/6)R(5 – 7t)	0,4(3t – 1)	R/2	0	ω1
5	(π/3)R(2t2 – 3)	0,6cos(πt)	R	–12	ω = f(t)
6	(π/3)R(3 – 4t2)	0,8(1 – t2)	R/2	0	ω1
7	(π/3)R(3t – t2)	0,8(5t2 – 2)	πR/3	0	ω1
8	(π/6)R(2t – 3)	0,4t2	R/2	–8t	ω = f(t)
9	(π/3)R(3 – 5t2)	0,6(t – 2t2)	πR/3	0	ω1

Пример Д2. Механическая система состоит из грузов массы =5 кг и массы =12 кг и из прямоугольной вертикальной плиты массы =25 кг, движущейся вдоль горизонтальных направляющих (рис. Д4). В момент времени , когда система находилась в покое, под действием внутренних сил грузы начинают двигаться по желобу, представляющему собой окружность радиуса R=1 м, по законам и , где t – в с, и – в рад.

Определить: – закон движения плиты и – закон изменения со временем полной нормальной реакции направляющих.

Указания. Задача - на применение теоремы о движении центра масс. При этом для определения составить уравнение в проекции на горизонтальную ось х, а для определения N - на вертикальную ось у.

Решение: Механическая система выбрана так, что наперед неизвестные силы, т.е. силы упругости, с которыми каждый из грузов взаимодействует с плитой, являются внутренними. Поэтому при решении данной задачи применима теорема о движении центра масс.

Рассмотрим систему в произвольном положении (рис. Д4). Изобразим все внешние силы, действующие на систему: силы тяжести и реакцию

Рис. Д4

направляющих . Проведем координатные оси ОXY так, чтобы оси Х и Y проходили через точку , где находился центр масс плиты в момент времени .

1. Для определения запишем уравнение, выражающее теорему о движении центра масс данной системы:

(1)

где – масса системы.

Проектируя обе части равенства (1) на координатную ось х, получим:

(2)

т.к. все внешние силы вертикальны.

Из уравнения (2) следует, что или .

Поскольку в начальный момент времени скорость , а следовательно, и проекция скорости были равны нулю, то и в любой момент времени , отсюда , (3)

т.е. центр масс системы не перемещается вдоль оси ОХ.

Будем находить величину по формуле:

.

В произвольный момент времени х₁ = х₃ + Rcosj₁, х₂ = х₃ - Rsinj₂.

В начальный момент времени (при t=t₀=0) х₁=Rcosp, х₂= - Rsin2, х₃ =0.

В соответствии с уравнением (3) координаты центра масс системы в начальный и произвольный момент времени равны:

.

Ответ: х= м, где t – в секундах.

2. Для определения N=f(t) запишем уравнение (1) в проекции на ось у:

. (4)

Учитывая, что P₁=m₁g, P₂=m₂g, P₃=m₃g, перепишем уравнение (4) в виде:

. (5)

Зависимость величины от времени определяет зависимость от времени величины N.

В соответствии с определением центра масс механической системы можем написать: , (6)

Продифференцируем уравнение (6) два раза по времени:

,

.

С учетом найденного значения определим из уравнения (5) искомую зависимость N=f(t).

Ответ: N = 420–49,35sin(pt)-37,70sin( t²+2) -8,44t²cos( t²+2), где t – в секундах, N – в ньютонах.