где движение
происходит по окружности с линейной
скоростью R по часовой
стрелке. При
система уравнений динамики объектов
имеет вид:
а фазовые траектории описываются уравнением
и
представляют собой окружности с центром
в точке (1,0). При
система уравнений объекта имеет вид:
а фазовые траектории удовлетворяют уравнению окружностей с центром в точке (-1,0):
.
Семейства фазовых траекторий системы для и приведены на рис. 7.10.
Рис. 7.10. Семейства фазовых траекторий системы
для случаев и
Из рис. 7.10 видно,
что начала координат система может
достичь только с одной из траекторий с
радиусом
(они
выделены и проходят через начало
координат), но на эти траектории необходимо
попасть. Как это происходит, оценим по
рис. 7.11. Пусть на последнем участке
угловой длиной
у нас управление
(см. рис 7.10), то есть мы проходим (рис.
7.11) последний этап управления по
окружности с
из (1,0) с центральным углом
.
Предпоследний этап (длиной
)
представляет собой дугу полуокружности
с центром в (-1,0) и управлением
.
В точке В необходимо произвести
переключение на
и на дуге
длиной
использовать
только его. На первом этапе (дуга
)
мы используем
.
Центральный угол
равен
.
Таким образом, находясь в точке D и двигаясь по траектории DCBAO, используем управление , если находимся ниже линии, указанной пунктиром, и , если выше нее. На пунктирной линии мы производим переключение управления на противоположное. И так до тех пор, пока мы не окажемся в начале координат по траектории DCBAO. Линия переключения, которая состоит из цепочки полуокружностей, может быть представлена уравнением
что
представляет собой слева от оси
верхние полуокружности, а справа –
нижние.
Рис.
7.11. Траектория системы для
из
рис. 7.9.
7.5. Основные результаты раздела
Для линейно-квадратической нестационарной задачи синтеза оптимального управления
,
,
,
,
,
где
,
,
,
-
детерминированная заданная функция,
оптимальное управление равно:
,
где
симметричная матрица
положительно определена и отыскивается
вместе с вектором
из уравнения:
,
,
это так называемое дифференциальное матричное уравнение Риккати, и из уравнения
,
.
Если
,
то
,
а
функция
.
Для стационарной
системы, у которой A, B, Q,
R постоянны и
матрица
постоянная и определяется из алгебраического
матричного уравнения Риккати
,
а оптимальное управление равно
.
Для управления системы по выходу, то есть
,
,
,
,
,
,
,
,
функционал
с помощью замены
приведём к виду
,
и
оптимальное управление существует,
если
,
,
и определяется из предыдущей задачи с
заменой
,
.
Для линейных систем с ограничением на управление в виде неравенств в задачах максимального быстродействия
,
,
,
,
,
,
,
синтез проводится на основании построения линий (поверхностей) переключения.
Оптимальное управление равно
,
причём
,
где
,
.
Моменты переключения определяются из уравнения
,
и с его же помощью пытаются построить линию (поверхность) переключения.
ЗАДАЧИ
Сформулируйте общую постановку задачи синтеза оптимального управления.
Как вы думаете, почему для синтеза оптимального управления в рассмотренных задачах используется метод динамического программирования?
Какие соотношения элементов матриц
,
и
вы предложите, если для вас существенным
фактором является:
а) величина энергетических затрат;
б) близость к программной траектории в процессе функционирования системы;
в) точность достижения системой конечного состояния.
Что представляет собой регулятор выхода?
Синтезировать управление системой, динамика которой описывается системой
,
,
,
.
.
Для
можно решить уравнение Риккати и получить
два значения
.
Как определить, каким из них следует
воспользоваться?
В задаче 5 положить
и
.
Определить для этого случая зависимость
уравнения от
и
.В задаче 5 приравнять
.
Определить управление,
минимизирующее функционал
.Выполнить синтез управления для системы из задачи 5 с
,
,
,
.Синтезировать управление для системы
,
с условием минимизации критерия
.
Рассмотреть случаи:
,
и
.Определить поверхность переключения для управления с минимальным временем, которое переводит систему
,
,
в начало координат.Определить поверхности переключения для управления с минимальным временем, которое переводит систему
,
,
в начало координат.Показать, что задачи 3 и 4 связаны линейным преобразованием
.
Как такое преобразование влияет на
поверхности переключения в этих двух
задачах?Определить поверхность переключения для управления с минимальным временем, которое переводит систему
,
,
,
,
в начало координат.Выполнить синтез управления для системы
,
,
,
с минимизируемым функционалом вида
,
где
- некоторая заданная функция, которую
можно положить: а) константой; б)
.
В условии положить вначале, что
конечно, а затем
.
Выполнить синтез управления в задаче максимального быстродействия в системе:
,
,
,
,
.
Проанализировать зависимость линии переключения от структуры матрицы А (вернее, от собственных значений матрицы).
Выполнить синтез управления в задаче максимального быстродействия для системы:
,
,
,
,
.
Найти уравнение линии переключения и построить её график.
Выполнить синтез управления в задаче максимального быстродействия для системы:
,
,
,
,
.
Найти уравнение линии переключения и построить её график.
Выполнить синтез управления и исследовать его характер для системы:
,
,
,
,
где минимизируемый функционал имеет вид:
.