II. Кінематика поступального руху

Кінематика вивчає закономірності руху матеріальних тіл без аналізу причин, що викликали цей рух.

Рух тіла називають поступальним, якщо всі точки тіла описують однакові траєкторії, тобто якщо будь-яка умовна пряма в цьому тілі залиша-ється паралельною сама собі. Це означає, що при вивченні законо-мірностей поступального руху твердого тіла можна розглядати рух будь-якої точки цього тіла або його центра інерції. Аналогічно для системи тіл, зв'язаних між собою, зручно розглядати рух центра інерції (який називають також центром мас). Всі закони поступального руху системи тіл, твердого тіла й матеріальної точки повинні бути одна-ковими. Тому кінематику поступального руху можна розглядати на прикладі руху матеріальної точки.

2.1. Задання положення матеріальної точки в просторі

Для вивчення закономірностей руху матеріальної точки застосову-ють три способи задання положення цієї точки в просторі: векторний, координатний і природний (або натуральний). Рух матеріальної точки (а значить, і її положення у просторі в будь-який момент часу) вважається заданим, якщо відома залежність від часу радіуса – вектора або координат цієї точки при векторному й координатному способах задання, і траєкторія точки й закон руху при природному способі задання. Останній спосіб розглядається в курсі теоретичної механіки. У фізиці використовуються переважно перші два.

Рис. 2.1

Радіусом – вектором деякої точки m (рис. 2.1) називають вектор, проведений із точки початку відліку (початку координат) у дану точку. Він однозначно визначає положення точки у просторі і вважається заданим, якщо відомі його довжина і напрямок (тобто модуль і кути α, β і γ).

На рис. 2.1 m_x, m_y і m_z - проекції точки m на координатні осі, r_x, r_y і r_z – проекції радіуса-вектора на координатні осі. Очевидно, що для рухомої точки радіус-вектор залежить від часу: . Проекції радіуса-вектора на координатні осі називають декартовими координатами точки: r_x = r cos α = x; r_y = r cos β = y; r_z = r cos γ = z. Оскільки радіус-вектор залежить від часу, то і координати точки m також є функцією часу. Таким чином, закон руху точки m може бути заданий системою рівнянь:

x = x (t), y = y (t), z = z (t), (2.1)

або еквівалентним їй рівнянням

(2.2)

Їх називають кінематичними рівняннями руху матеріальної точки. Для системи n матеріальних точок (або тіл), кожна з яких має свою масу m_i і радіус-вектор , радіус-вектор центра інерції визначається рівнянням:

(2.3)

Координати центра інерції визначаються так само, як і координати матеріальної точки. Модуль радіуса-вектора може бути виражений через координати на підставі теореми Піфагора:

(2.4)

а сам радіус-вектор – через координати точки і орти , , ,

(або , , ) координатних осей:

(2.5)

Величини (прийнято обидва ці позначення) називають ортами (або одиничними векторами) координатних осей. Мо-дуль кожного орта дорівнює одиниці в обраній системі одиниць, а його напрямок збігається з напрямком відповідної координатної осі.