52. Этапы реализации решения численных задач. Методы решения численных задач.

Физическая постановка задачи. На этом этапе определяются основные цели и задачи, рассматривается реальное явление.

Математическая постановка задачи. Реальная задача заменяется моделью. Модель должна быть достаточно простой и в то же время адекватно отражать основные функции реально­ го объекта. Этап заканчивается выводом некоторых математических соотношений (уравнения, системы уравнений).

Прямые методы используют конечные соотношения (формулы) для вычисления неизвестных. Они сравнительно просты и универсальны. Вместе с тем, эти методы требуют большого объема памяти ЭВМ, а при их реализации накапливается вычислительная погрешность.

Итерационные методы - это методы последовательных приближений. Они имеют более сложные алгоритмы, объем вычислений заранее определить сложно. Однако, их реализация требует меньшего объема памяти ЭВМ, а вычислительная по­грешность почти не накапливается.

53. Алгоритмы решения задачи нахождения корней полинома: шаговый метод, метод половинного деления, метод Ньютона, метод простой итерации.

Алгоритм метода:

1. Установить интервал |а,Ь| на начало интервала поиска (а=х0).

2. Определить координату точки b (b=a+h), а также значе­ ния функции в точках а и b: F(a) и F(b).

3. Проверить условие F(a)*F(b)<0. Если условие не выпол­ нено - передвинуть интервал [а,Ь] на один шаг (а=Ь) и перейти к пункту 2.

• Если условие выполнено - закончить алгоритм.

Решением являются координаты точек а и Ь. Отрезок |а,Ь] содержит корень уравнения, поскольку функция F(x) на его концах имеет разные знаки.

Метод половинного деления

Метод основан на последовательном сужении интервала, содержащего единственный корень уравнения F(x)=0 до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность к.

Пусть задан отрезок [а,Ь], содержащий один корень уравнения. Этот отрезок может быть предварительно найден с помощью шагового метода.

Алгоритм метода :

1. Определить новое приближение корня х в середине отрезка [a,b]: x=(a+b)/2.

2. Найти значения функции в точках а и х: F(a) и F(x).

3. Проверить условие F(a)*F(x)<0. Если условие выполнено, то корень расположен на отрезке [а,х]. В этом случае необходи­ мо точку b переместить в точку х (Ь=х). Если условие не выпол­ нено, то корень расположен на отрезке [х,Ь]. В этом случае необ­ ходимо точку а переместить в точку х (а=х).

4. Перейти к пункту 1 и вновь поделить отрезок пополам. Алгоритм продолжить до тех пор, пока не будет выполнено усло­ вие |F(x)I <e.

Метод Ньютона

Задан отрезок [а,Ь], содержащий корень уравнения F(x)=0. Уточнение значения корня производится путем использования уравнения касательной. В качестве начального приближения задается тот из концов отрезка [а,Ь], где значение функции и ее второй производной имеют одинаковые знаки

(т.е. выполняется условие F(X0)*F"(X0)>0).

В точке F(х₀) строится касательная к кривой у= F(х) и ищется ее пересечение с осью х.

Точка пересечения принимается за новую итерацию. Итерационная формула имеет вид: