- •Определители 2-ого и 3-его порядков. Понятие об определителе н-ного порядка. Свойства определителей. Разложение определителей по строке (столбцу).
- •Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.
- •Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.
- •Векторы. Линейные операции над векторами. Базис и система координат. Координаты вектора.
- •Декартовы координаты векторов и точек. Проекция вектора на ось. Скалярное произведение векторов и его свойства.
- •Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства, геометрический смысл.
- •Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.
- •Уравнение плоскости в пространстве. Угол между плоскостями.
- •Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью и угол между прямыми в пространстве.
- •Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола. Канонические уравнения. Приведение пятичленного уравнения к каноническому виду.
- •11. Множество вещественных чисел. Функция. Область её определения
- •12. Предел функции. Свойства функции имеющих предел. Односторонние
- •13. Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Замечательные
- •16. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные бесконечно
- •18. Существование наибольшего и наименьшего значений непрерывной
- •20. Определение производной, её геометрический и механический
- •22. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Непрерывность
- •23. Производная сложной и обратной функции. Дифференцирование
- •27. Производные высших порядков. Формула Тейлора с остаточным
- •28. Условие монотонности функции. Экстремумы функции, необходимое
- •32. Пространство Rn . Множества в Rn открытые, замкнутые,
- •34. Частные производные. Дифференциал, его связь с частными
- •35. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
- •38. Экстремумы функций нескольких переменных. Необходимое условие
20. Определение производной, её геометрический и механический
смысл. Производной функции y=f(x) в точке х нулевое,называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента,когда приращение аргумента стремится к нулю.
Если существует конечный предел , то он называется производной функции
f в точке х0.
Обозначение: .
Разность называется приращением аргумента, а - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как .
Геометрический смысл: значение производной при данном значении х равно тангенсу угла, образованного касательной к графику функции в точке с соответствующим значением х с положительным направлением оси Ох.
Механический смысл производной.Рассмотрим прямолинейное движение тела, для которого пройденное расстояние есть функция от времени: s=f(t). Среднюю скорость за время Δt можно определить по формуле:
. Для определения мгновенной скорости тела в данный момент времени устремим Δt к нулю. Получим: Таким образом, производная от расстояния в данный момент времени равна мгновенной скорости движения в этот момент. Соответственно производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом х.
21. Производная суммы, произведения и частного. Производная суммы (разности) двух дифференцируемых функций равна сумме (разности) производных этих функций:
Производная произведения функций.Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда произведение функций u(x)v(x) также дифференцируемо и
Производная произведения двух функций не равана произведению производных этих функций.
Производная частного функций. Пусть u(x) и u(x) - дифференцируемые функции. Тогда, если v(x) ≠ 0, то производная частного этих функций вычисляется по формуле
22. Дифференциал функции, его геометрический смысл. Непрерывность
дифференцируемой функции. Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)): dy=ƒ'(х)•∆х.
Функция f(x),называется дифференцируемой в точке х0 , если в ее приращ ении Δу можно выделить линейную часть,т.е. если Δу можно представить в виде Δу=А* Δх+α* Δх,где А=const,а α= α(х)-б.м. в точке х0.
Диффиренциал функции y=f(x) вычисляется по формуле: dy=f’(x)dx,где dx-дифференциал переменной х.
Геометрический смысл:дифференциал функции равен приращению ординаты касательной. Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM1|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:
Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.
Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
Непрерывность дифференцируемой функции
Теорема 1. Пусть функция y = f(x) дифференцируема на интервале (a, b). Тогда функция f непрерывна на (a, b).
Доказательство: Возьмем произвольное фиксированное число x (a,b).
По условию теоремы
Следовательно, в малой окрестности числа x0 можно определить функцию α = α(Δx), стремящуюся к нулю при ∆х->0 такую, что
Но тогда
и, следовательно, функция f непрерывна при x = x0. Так как число x0 – произвольное, то функция f непрерывна на всем интервале (a, b).Теорема доказана.
Из доказанной теоремы непосредственно вытекает, что в точках разрыва функция не может быть дифференцируемой.