1. Определители 2-ого и 3-его порядков. Понятие об определителе н-ного порядка. Свойства определителей. Разложение определителей по строке (столбцу).

Определителем второго порядка (n=2), т.е. определителем матрицы А=( (а11 а 12) (а21 а22) ) называется число │А│= │ (а11 а 12) (а21 а22) │ = а11а22 – а12а21, равное разности произведений элементов главной и побочной диагоналей.

Определителем третьего порядка, (n=3), т.е. определителем матрицы А=( (а11 а 12) (а21 а22) (а31 а32 а33) называется число, определяемое формулой │А│ = а11а22а33+а12а23а31 + а13а21а32 – а13а22а31-а12а21а33-а11а23а32.

Понятие об определителе н-ного порядка. Определителем порядка n называется сумма произведений элементов какой-то строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения (определители порядка n-1).

Свойства определителей.

Свойство 1. Кососимметричность. Если в определителе поменять местами какие-либо две строки, то определитель изменит знак.

Свойство 2. Если в определителе какая-то строка, например первая, представляется в виде суммы двух строк: А1 = А*1 + А**1, то определитель равен сумме двух определителей.

Свойство 3. Если какую-то строку определителя умножить на число, то определитель умножится на это число.

Свойство 4. Если в определителе две строки равны, то определитель равен нулю.

Свойство 5. Если в определителе какие-то две строки пропорциональны, то определитель равен нулю.

Свойство 6. При элементарных преобразованиях второго рода(II((i) + λ(j)) состоит в том, что к i-й строке прибавляется j-я, умноженная на число λ) определитель не меняется.

Свойство 7. При транспонировании определитель не меняется.

Разложение определителей по строке (столбцу). Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-то строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.

2. Решение систем линейных алгебраических уравнений по правилу Крамера.

1. Если определитель системы ≠0, то система совместна и определённа, и её единственное решение находится (в случае n=3) по формулам Крамера

Х1= , x2= , x3=

2. Если , а хотя бы один из , то система несовместна.

Теорема. Для системы линейных уравнений второго порядка возможны три случая:

Если то решение единственно,

Если а или то решений нет,

Если то решений бесконечно много, либо их нет.

3. Матрицы и действия над ними. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы.

Произведением матриц А размера (m*k) и В размера (k*n) называется матрица С размера (m*n). А*В=С, элементы которой определяются по правилу «строка на столбец».

Произведением матрицы А на число λ называется матрица λА=( λаij). Таким образом, при умножении матрицы на число каждый её элемент умножается на это число.

Суммой матриц А=(аij) и В=(bij) одного и того же размера m*n называется (m*n)-матрица С=А+В, у которой сij=аij+bij, т.е. при сложении матриц складываются элементы, стоящие на одинаковых местах.

Матрица, обратная к матрице А, - это такая матрица А^-1, что А*А^-1=Е и А^-1*А=Е.

Если определитель квадратной матрицы А не равен нулю, ∆=│А│≠0, то обратная матрица А^-1 существует и находится по формуле А^-1= 1/∆ * Ȃ.