7. Прямая на плоскости. Различные формы уравнений прямой на плоскости. Угол между прямыми. Расстояние от точки до прямой.

Вектор n, перпендикулярный прямой, называется вектором нормали, а вектор а, параллельный прямой, называется направляющим вектором данной прямой.

1. Уравнение прямой l, проходящей через данную точку М0 (х0,у0) и имеющей данную нормаль n(А,В): А*(х-х0)+В*(у-у0)=0. Это уравнение выражает условие перпендикулярности вектора М0М, где М произвольная точка прямой, и вектора нормали.

2. Общее уравнение прямой – это уравнение первой степени: Ах+Ву+С=0

Геометрический смысл коэффициентов при неизвестных в общем уравнении прямой: коэффициенты А и В в уравнении – это координаты вектора нормали n┴l.

3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0 (х0,у0) и имеющей данный направляющий вектор а(а1,а2) (каноническое уравнение прямой): (х-х0)/а1=(у-у0)/а2. Это уравнение выражает условие параллельности вектора М0М, где М произвольная точка прямой, и направляющего вектора.

4. Уравнение прямой, проходящей через 2 данные точки М1(х1,у1) и М2(х2,у2):

(х-х1)/(х2-х1)=(у-у1)/(у2-у1)

5. Уравнение прямой с угловым коэффициентом: l: y=kx+b

6. Уравнение прямой в отрезках: х/a+y/b=1

Угол между прямыми: Угол ᵠ=ﮮ(l1,l2) между двумя прямыми l1: A1x+B1y+C1=0 и l2:A2x+B2y+C2=0 равен углу между их нормалями и поэтому cosᵠ=(n1,n2)/│n1││n2│= (A1A2+B1B2)/ *

Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на прямую, называется расстоянием от точки до прямой.

8. Уравнение плоскости в пространстве. Угол между плоскостями.

1. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0(x0,y0,z0) и имеющей данную нормаль n(A,B,C):

А*(х-х0)+В*(у-у0)+С*(z-z0)=0

2. Общее уравнение плоскости: Ах+By+Cz+D=0

3. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0(x0,y0,z0) параллельно двум данным векторам а(а1,а2,а3) и b(b1,b2,b3) – «направляющим векторам»:

=0

Угол между двумя плоскостями (прямыми): Угол ᵠ=ﮮ(l1,l2) между двумя прямыми l1: A1x+B1y+C1=0 и l2:A2x+B2y+C2=0 равен углу между их нормалями и поэтому cosᵠ=(n1,n2)/│n1││n2│= (A1A2+B1B2)/ *

9. Уравнение прямой в пространстве. Угол между прямой и плоскостью и угол между прямыми в пространстве.

А1х+В1у+С1z+D1=0

A2x+B2y+C2z+D2=0 – общие уравнения прямой в пространстве.

Канонические уравнения прямой:

(x-x0)/a1 = (y-y0)/a2=(z-z0)/a3

Параметрические уравнения прямой:

X=x0+a1t,

Y=y0+a2t,

Z=z0+a3t.

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами.

Угол ᵠ=ﮮ(l,П) между прямой l и плоскостью П – это один из смежных углов, образованных этой прямой и её проекцией на плоскость. Ясно, что один из этих углов равен ᵠ=П/2 - ﮮ(a,n) и поэтому sinᵠ=±cos(ﮮ(a,n))=±(a,n)/│a││n│

10. Кривые второго порядка: эллипс, парабола, гипербола. Канонические уравнения. Приведение пятичленного уравнения к каноническому виду.

Эллипсом называется геометрическое место точек М на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и обозначаемая 2а. r1+r2=2a, где r1 и r2 – фокальные радиусы точки М.

Каноническое уравнение эллипса: x^2/a^2+y^2/b^2=1, где b^2=a^2-c^2.

Гиперболой называется геометрическое место точек М, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная и обозначаемая 2а. r1 и r2 – фокальные радиусы точки М.

Каноническое уравнение гиперболы: ^2/a^2-y^2/b^2=1, где b^2=c^2-a^2.

Параболой называется геометрическое место точек М, для которых расстояние r до фиксированной точки F, называемой фокусом, равно расстоянию d до фиксированной прямой l, называемой директрисой.

Каноническое уравнение параболы: y^2=2px, где р- расстояние от фокуса до директрисы (параметр).